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求三角函数的定义域和值域

【例1】 求下列函数的值域

(1)y=2sinxcos²x/(1+sinx)

(2)y=sin²x+2sin xcos x+3cos²x

【解答】

(1)原式=2sinx(1-sinx)=-2sin²x+2sinx=-2(sinx-1/2)²+1/2，∵-1≤sinx≤1，∴y∈(-4，

(2)y=1+2cos²x+sin2x=1+cos2x+1+sin2x=2+√2sin(2x+π/4)，∴y∈[2-√2，2+√

三角函数的单调性

【例1】 已知函数f(x)=sin²x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-cos²x-√3，求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间。

【解答】f(x)=-cos2x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-√3=2√3sin²(x+π/4)-cos2x-√3=√3[1-cos(2x+π/2)]-cos2x-√3=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)，∴T=π，单调递减区间为[kπ+π/3，kπ+5π，k∈Z

【例2】设a∈R,f(x)=cosx(asin x-cos x)+cos²(π/2-x)，满足f(-π/3)=f(0)，求函数f(x)在[π/4，11π上的最大值和最小值.

【解答】f(x-=asin2x/2-cos²x+sin²x=asin2x/2-cos2x，∵f(-π/3)=f(0)，∴a=2√3，∴f(x)=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)，∴x∈[π/4，11π，∴2x-π/6∈[π/3，3π，所以f(x)min=√2，f(x)max=2

【小度提示】

① 熟记y=sin x,y=cos x,y=tan x的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础.

② 求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间即可,注意A的正负以及要先把ω化为正数.求y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k的单调区间类似.

三角函数的周期性和奇偶性

【例题】设函数f(x)=cos ωx(√3sin ωx+cos ωx)，其中0<ω<2。

(1)若f(x)的周期为π,求当-π/6≤x≤π/3时,f(x)的值域;

(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x=π/3，求ω的值.

【解答】

(1)f(x)=√3sin2ωx/2+cos²ωx=√3sin2ωx/2+cos2ωx/x+1/2=sin(2ωx+π/6)+1/2，∵T=π,∴ω=1，∴f(x)=sin(2x+π/6)+1/2，x∈[-π/6，π，∴2x+π/6∈[-π/6,5π，∴f(x)的值域为[0，

(2)2ωx+π/6=π/2+kπ，∴2πω/3+π/6=π/2+kπ，ω=1/2+3k/2，k∈Z，即0<1/2+3k/2<2，-1/3

求三角函数周期的方法

(1)利用周期函数的定义;

(2)利用公式：y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/|ω|，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π/|ω|。

(3)利用图象.

三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形。正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用。

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