例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,求m的值。
分析 我们不妨先求出三个互不相等的合数之和,即4+6+8=18,所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解:由于4+6+8=18,故下面我们就来证明m的最大整数是17。
当m>18时,若,则m>9
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和,故m=17
此题容易入手,逆向去考虑,采取极端性想法使问题得以解决。
例2 求满足等式的正整数x、y。
分析 此问题容易想到因式分解,再加之问题里有数2003,因为2003是质数,这也是一个信息。
解:观察式子特点不难得出
故所求的正整数对(x,y)=(1,2003),(2003,1)
此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数时,n+1都能表示成k个完全平方数的和,那么k的最小值是________。
分析 我们采取分析法,因为是一个完全平方数,所以设,再去推导n和a的关系,使问题不断得到解决。
解:由已知是一个完全平方数,所以我们就设,显然不是3的倍数,于是,从而
即,所以k的最小值是3
此是解决数论问题的一个常用的,也是基本的一个。
例4 设为完全平方数,且N不超过2392。求满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有________对。
分析此题与例3有相似之处,但是要难一些。首先用到了性质8,然后再结合不等式解决此问题。
解:,且23为素数,N为不超过2392的完全平方数
所以共有(1,19),(2,15),(3,11),(4,7),(5,3)以及(1,88),(2,84),…,(22,4)
故满足条件的(x,y)共有5+22=27对
此问题用到了数论里常用的方法��不等式法。把一个整数问题转化为不等式问题,就会求出上(下)界,从而限定出所求数的范围,同时又是整数,故而使问题得以解决。
例5 已知方程的根都是整数,求整数n的值。
分析 已知方程的根是整数,所以先把根求出来,所以根号下的数就应该是完全平方数,故此问题得以解决。
解:由求根公式解得
因为方程的根都是整数
所以是完全平方数
设,则有
所以,分别解得整数n的值为10,0,-18,-8
此题的难点在于知道是完全平方数之后,如何分解它,实际上是在解一个不定方程问题。
例6设四位数是一个完全平方数,且,求这个四位数。
解:设
由于67是质数,故与中至少有一个是67的倍数
此问题值得注意的是我们在设未知数的时候,采取整体代换,即把看成整体,从而使问题简化。
例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
分析 此类型问题在考试中出现多次,它的方法基本上是设出之后做差,然后运用平方差公式分解,最后去解不定方程。
解:设此自然数为x,依题意可得
但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是
解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
此问题是比较典型的,两个式子三个未知数,感觉没有办法解决,但是一做差就是柳岸花明又一村,所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和,来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时,我们要以不变(知识)去应万变(问法),不断去探索,有时候我们可以用特值去验证结论,这样就会有一个大致的方向,再通过不断的把问题转化,从而解决数学问题。
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