初中数学韦达定理公式证明

编辑: 逍遥路 关键词: 初中数学 来源: 高中学习网

  【—韦达定理公式证明】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此称为韦达定理。

  韦达定理公式证明

  由一元二次方程求根公式为:X = 初中学习方法 (-b±√b^2-4ac)/2a

  (注意:a指二次项系数,b指一次项系数,c指常数,且a≠0)

  可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ,X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

  1. X1?X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a

  所以X1?X2=-b/a

  2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac?÷2a]×[(-b-√b^2-4ac?÷2a]

  所以X1X2=c/a

  (补充:X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2=(-b/a)^2-2c/a=(b^2-2c)/(a^2))

  (扩充)

  3. X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a

  又因为X1.X2的值可以互换,所以则有

  X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】

  所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a

  韦达定理推广的证明

  设X1,X2,……,xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

  则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

  所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)

  通过系数对比可得:

  A(n-1)=-An(∑xi)

  A(n-2)=An(∑xixi)

  …

  A0=[(-1) ]×An×ΠXi

  所以:∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

  ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

  …

  ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

  其中∑是求和,Π是求积。

  韦达定理的公式证明过程是个非常漂亮的数学推理过程。


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