2019高二数学期末考试题及答案

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必考Ⅰ部分

  一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1. 若复数z=(1+ai)?(2+i)是纯虚数,则实数a的值为

  A.2 B.- C. D.-2

  2.如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法正确的是

  A.“概念”与“分类”是从属关系

  B.“等差数列”与“等比数列”是从属关系

  C.“数列”与“等差数列”是从属关系

  D.“数列”与“等比数列”是从属关系,但“数列”与“分类”不是从属关系

  3.下列说法中错误的是

  A.对于命题p:?x0∈R,sin x0>1,则绨p:?x∈R,sin x≤1;

  B.命题“若0

  C.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题;

  D.命题“若x2-x-2=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2,则x2-x-2≠0”.

  4.“1

  A.充分不必要条件

  B.必要不充分条件

  C.既不充分也不必要条件

  D.充要条件

  5.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据:

  x 3 4 5 6

  y 2.5 3 4 4.5

  据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是

  A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1

  C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.45

  6.三角形的面积为S=(a+b+c)r,a、b、c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为

  A.V=abc

  B.V=Sh

  C.V=(S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4为四个面的面积,r为内切球的半径)

  D.V=(ab+bc+ac)h,(h为四面体的高)

  7.函数f(x)=x5-x4-4x3+7的极值点的个数是

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  8.已知椭圆+=1,F1、F2分别为其左、右焦点,椭圆上一点M到F1的距离是2,N是MF1的中点,则|ON|(O为原点)的长为

  A.1 B.2 C.3 D.4

  选择题答题卡

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得 分

  答案

  二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

  9.已知复数z=1+,则||=____________.

  10.读下面的程序框图,当输入的值为-5时,输出的结果是________.

  11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

  则第n个图案中的白色地面砖有______________块.

  12.曲线f(x)=xsin x在点处的切线方程是______________.

  13.已知双曲线-=1(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于,则双曲线的离心率e是________.

  三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

  14.(本小题满分11分)

  在某测试中,卷面满分为100分,60分及以上为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示:

  分数段 [29~40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

  午休考生

  人数 23 47 30 21 14 31 14

  不午休考

  生人数 17 51 67 15 30 17 3

  参考公式及数据:K2=

  P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

  k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

  (1)根据上述表格完成列联表:

  及格人数 不及格人数 总计

  午休

  不午休

  总计

  (2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系?对今后的复习有什么指导意义?

  15.(本小题满分12分)

  已知:a,b,c>0.求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.

  16.(本小题满分12分)

  已知抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,过焦点的直线与抛物线交于不同两点A,B,直线OA(O为原点)交准线l于点M,设A(x1,y1),B(x2,y2).

  (1) 求证:y1y2是一个定值;

  (2) 求证:直线MB平行于x轴.

  必考Ⅱ部分

  一、填空题:本大题共1个小题,每小题5分,共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

  1.从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为________.

  二、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  2.已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x),若f(x)是增函数且恒有f(x)>0,则下列各式中必成立的是

  A.2f(-1)2f(-3)

  C.2f(1)>f(2) D.3f(2)>2f(3)

  三、解答题:本大题共3小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

  3.(本小题满分13分)

  已知函数f(x)=-x3+3x.

  (1)求函数f(x)的单调区间和极值;

  (2)当x∈[0,a],a>0时,设f(x)的最大值是h(a),求h(a)的表达式.

  4.(本小题满分13分)

  (1)证明:xln x≥x-1;

  (2)讨论函数f(x)=ex-ax-1的零点个数.

  5. (本小题满分14分)

  如图,已知焦点在x轴上的椭圆+=1(b>0)有一个内含圆x2+y2=,该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M,N,且⊥(O为原点).

  (1)求b的值;

  (2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.

  求证:⊥,并求|AB|的取值范围.

  湖南师大附中2018届高二第一学期期末考试试题

  数学(文科)参考答案

  必考Ⅰ部分(100分)

  6.C 【解析】△ABC的内心为O,连结OA、OB、OC,将△ABC分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a、b、c;类比:设四面体A-BCD的内切球球心为O,连接OA、OB、OC、OD,将四面体分割为四个以O为顶点,以原面为底面的四面体, 高都为r,所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.

  7.B 【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6),

  所以f(x)有两个极值点x=-2及x=6.

  8.D 【解析】据椭圆的定义,由已知得|MF2|=8,而ON是△MF1F2的中位线,故|ON|=4.

  二、填空题

  9.

  10.2 【解析】①A=-5<0,②A=-5+2=-3<0,③A=-3+2=-1<0,

  ④A=-1+2=1>0,⑤A=2×1=2.

  11.4n+2 【解析】第1个图案中有6块白色地面砖,第二个图案中有10块,第三个图案中有14块,归纳为:第n个图案中有4n+2块.

  12.x-y=0

  13. 【解析】由题意知=tan 30°=?e==.

  ∵K2≈5.7>5.024,

  因此,有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系,即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系.(10分)

  对今后的复习的指导意义就是:在以后的复习中,考生应尽量适当午休,以保持最佳的学习状态.(11分)

  (2)据题意设A,M(-1,yM),(8分)

  由A、M、O三点共线有=?y1yM=-4,(10分)

  又y1y2=-4

  则y2=yM,故直线MB平行于x轴.(12分)

  必考Ⅱ部分(50分)

  一、填空题

  1.10 【解析】设P(xP,yP),∵|PM|=|PF|=yP+1=5,∴yP=4,

  则|xP|=4,S△MPF=|MP||xP|=10.

  二、选择题

  2.B 【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性,而f′(x)>0且f(x)>0,则当x<0时′=<0,

  即函数在(-∞,0)上单调递减,故选B.

  三、解答题

  3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)

  列表如下:

  x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)

  f′(x) - 0 + 0 -

  f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减

  所以:f(x)的递减区间有:(-∞,-1),(1,+∞),递增区间是(-1,1);

  f极小值(x)=f(-1)=-2,f极大值(x)=f(1)=2.(7分)

  (2)由(1)知,当0

  此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)

  当a>1时,f(x)在(0,1)上递增,在(1,a)上递减,

  即当x∈[0,a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)

  综上有h(a)=(13分)

  4.【解析】 (1)设函数φ(x)=xln x-x+1,则φ′(x)=ln x(1分)

  则φ(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,(3分)

  φ(x)有极小值φ(1),也是函数φ(x)的最小值,则φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0

  故xln x≥x-1.(5分)

  (2)f′(x)=ex-a(6分)

  ①a≤0时,f′(x)>0,f(x)是单调递增函数,又f(0)=0,

  所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)

  ②当a>0时,函数f(x)在(-∞,ln a)上递减,在(ln a,+∞)上递增,

  函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)

  ?.当a=1时,函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0

  则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)

  ?.当01时,由(1)知极小值f(ln a)=a-aln a-1<0,又f(0)=0

  当0

  故此时f(x)?+∞,则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;

  当a>1时,2ln a>ln a>0,计算f(2ln a)=a2-2aln a-1

  考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ,则g′(x)=2(x-1-ln x),

  再设h(x)=x-1-ln x(x>1),h′(x)=1-=>0

  故h(x)在(1,+∞)递增,则h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0,

  所以g′(x)>0,即g(x)在(1,+∞)上递增,则g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0

  即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0,

  则f(x)还必恰有一个属于(ln a,2 ln a)的正根.

  故01时函数f(x)都是恰有两个零点.

  综上:当a∈(-∞,0]∪{1}时,函数f(x)恰有一个零点x=0,

  当a∈(0,1)∪(1,+∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)

  5.【解析】(1)当MN⊥x轴时,MN的方程是x=±,

  设M,N

  由⊥知|y1|=,

  即点在椭圆上,代入椭圆方程得b=2.(3分)

  (2)当l⊥x轴时,由(1)知⊥;

  当l不与x轴垂直时,设l的方程是:y=kx+m,即kx-y+m=0

  则=?3m2=8(1+k2)(5分)

  ?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,

  Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0,

  设A(x1,y1),B(x2,y2)

  则,(7分)

  x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

  -+m25ykj.com

  ==0,即⊥.

  即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)

  (2)当l⊥x轴时,易知|AB|=2=(10分)

  当l不与x轴垂直时,|AB|==

  =(12分)

  设t=1+2k2∈[1,+∞),∈(0,1]

  则|AB|==

  所以当=即k=±时|AB|取最大值2,

  当=1即k=0时|AB|取最小值,

  (或用导数求函数f(t)=,t∈[1,+∞)的最大值与最小值)

  综上|AB|∈.(14分)


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