高二年级下册数学月考试卷[1]

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网


第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)
1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的 (   )
  A.充分不必要条件    B.必要不充分条件
  C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则 (   )
  A.n⊥β B.n∥β,或n⊂β
  C.n⊥α D.n∥α,或n⊂α
3..若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中 (  )
  A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线
  C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线
4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于(   )
  A.a2    B.2a2   C.a2    D.a2
5.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为(   )

A. B. C. D.1
6.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 ( )
  A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形
   C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形
7.如右图所示,正方体ABCD¬A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是(   )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A¬BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等

8.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于 (  )
   A.8π B.16π
   C.48π D.不确定的实数
9.已知A、B、C、D为同一球面上的四点,且连接每点间的线段长都等于2,则球心O到平面BCD的距离等于 ( )
  A. B. C. D.
10.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N 分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x变化关系(x∈(0,3))是 ( )
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 。
12. 在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为 .
13.长方体中,,则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到点的最短距离是 。
14.在棱长为1的正方体AC1中,E为AB的中点,点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界),若动点P始终满足PE⊥BD1,则动点P的轨迹的长度为________.
15. 四面体ABCD中,有以下命题:
  ①若AC⊥BD,AB⊥CD,则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC,AB,CD的中点,则∠EFG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在面ABD上的射影是△ABD的外心;
  ④若四个面是全等的三角形,则ABCD为正四面体.
  其中正确命题序号是 .
三、解答题:本大题共6个小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中

中点。
  (1)求证:BC1//平面CA1D;
  (2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B。
   
17. 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB//DC,ΔPAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4。
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积。
18.在直三棱柱中,,,且异面直线与 所成的角等于,设.
(Ⅰ)求的值;
  (Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
19.如图所示,已知PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上任意一点,过A作AE⊥PC于
点E,AF⊥PB于点F,求证:
  (1)AE⊥平面PBC;
  (2)平面PAC⊥平面PBC;
  (3)PB⊥EF.
20.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在
平面垂直于底面ABCD.
  (1)求证:AD⊥PB.
  (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.

21.三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点。
(1)证明:平面GFE//平面PCB;
  (2)求二面角B-AP-C的正切值;
  (3)求直线PF与平面PAB所成角的正弦值。

  1~10 ADABA DDBBA
  11~15 6πa2 2 ①③
16.解答:(1)连接AC1交A1C于E,连接DE,∵AA1C1C为矩形,则E为AC1的中点。
   
   
   又CD平面CA1D,∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。
   又ΔPAD是边长为4的等边三角形,∴PO=。
   
18.解:(1),
就是异面直线与所成的角,
即,……(2分)
连接,又,则
为等边三角形,……………………………4分
由,,
;………5分
(2)取的中点,连接,过作于,
连接,,平面
又,所以平面,即,
所以就是平面与平面所成的锐二面角的平面角。…………7分在中,,,,
,…………………………11分
因此平面与平面所成的锐二面角的大小为。…………12分
说明:取的中点,连接,…………同样给分(也给12分)
19证明:(1)因为AB是⊙O的直径,
   所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.
   又因为PA⊥⊙O所在平面,即PA⊥平面ABC.
   又BC⊂平面ABC,所以BC⊥PA.
   又因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.
   因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.
   又已知AE⊥PC,PC∩BC=C,
   所以AE⊥平面PBC.
   (2)因为AE⊥平面PBC,且AE⊂平面PAC,
   所以平面PAC⊥平面PBC.
   (3)因为AE⊥平面PBC,且PB⊂平面PBC,
   所以AE⊥PB.
   又AF⊥PB于点F,且AF∩AE=A,
   所以PB⊥平面AEF.
   又因为EF⊂平面AEF,所以PB⊥EF.
   
   解析:(1)方法一,如图,取AD中点G,连接PG,BG,BD.
   
   ∵△PAD为等边三角形,∴PG⊥AD,
   又∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD.
   在△ABD中,∠A=60°,AD=AB,∴△ABD为等边三角形,∴BG⊥AD,
   ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
   方法二,如图,取AD中点G
   ∵△PAD为正三角形,∴PG⊥AD
   又易知△ABD为正三角形
   ∴AD⊥BG.
   又BG,PG为平面PBG内的两条相交直线,
   ∴AD⊥平面PBG.
   ∴AD⊥PB.
   (2)连接CG与DE相交于H点,
   在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,
   ∴FH⊥平面ABCD,
   ∴平面DHF⊥平面ABCD,
   ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点,
   ∴在PC上存在一点F,即为PC

的中点,使得平面DEF⊥平面ABCD.
21.解答:(1)因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点,所以EF//BC,GF//CP。因为EF,GF平面PCB,所以EF//平面PCB,GF//平面PCB。又EF∩GF=F,所以平面GFE//平面PCB。
   (2)过点C在平面PAC内作CH⊥PA,垂足为H,连接HB。因为BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以HB⊥PA,所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依条件容易求出CH=,所以tan∠BHC=,所以二面角B-AP-C的正切值是。
   (3)如图,设PB的中点为K,连接KC,AK,因为ΔPCB为等腰直角三角形,所以KC⊥PB;又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,所以AC⊥平面PCB,所以AK⊥PB,又因为AK∩KC=K,所以PB⊥平面AKC;又PB平面PAB,所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC内,过点F作FM⊥AK,垂足为M。因为平面AKC⊥平面PAB,所以FM⊥平面PAB,连接PM,则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角。容易求出PF=,FM=,所以sin∠MPF==.即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是


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