P>18．（本题满分16分）

a2

和g?x??x?2ax?2． x

⑴命题p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命题q:函数g?x?在?2,???上单调递增．若p和q都是真命题，求实数a的取值范围；

已知函数f?x??x?⑵设F?x???

??f?x?,x?2

，若对?x1??2,???，总存在x2????,2?，使得

??g?x?,x?2

F?xF?2?x成立，求实数a的取值范围． 1??

19．（本题满分16分） 设集合A,An,1,A2,A3,

中元素的个数分别为1,2,3,,n,

．现从集合

An,An?1,An?2,An?3中各取一个元素，记不同取法种数为f(n)． ⑴求f(1)；

⑵是否存在常数a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)对任

*

意n?N总成立？若存在，请求出a,b的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理

由． 20．（本题满分16分）

已知等差数列{an}的公差为d，且(a1x?d)5的展开式中x与x的系数之比为2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展开式中二项式系数最大的项； ⑵设[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

2

3

?b2n(x?2)2n，n?N*，求

a1b1?a2b2??a2nb2n；

an?1

⑶当n?2时，求证：(an?1)

?11?16n?8n4．

2018～2018学年度第二学期期末联考

高二数学试题（理科）参考答案

1．四 2．?x?R，2sinx?1总成立 3．1 4．若b?0，则abc?0

1

2222

7．若x1?2y1?1，则过点?x1,y1?的直线与椭圆x?2y?1有两个公共点 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50

k?1

10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷

?,y0?)，则 15．解：⑴设P(x0,y0)为圆C上的任意一点，在伸压变换下变为另一点P?(x0

5．12 6．

???20??x0??x0

?y????01??y?，

??0??0??x????2x0?x0?x0?0

即?，所以，?2

??y0?y0???y0?y0

?2x0

?2?1． ?y0又因为点P在曲线x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222

?y2?1．…………4分 即圆C：x?y?1在矩阵M对应的伸压变换下变为椭圆：4

?xy??20??xy??10?

⑵设矩阵M的逆矩阵为??，则?01??zw???01?，

zw????????

1?x??2

?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0

?

?w?1?1?

0?1

?． …………8分 从而所求的逆矩阵M??2?01???

??20

⑶矩阵M的特征多项式为f(?)??(??2)(??1)，

0??1

令f(?)?0，解得矩阵M的特征值?1?2，?2?1． …………10分

?(??2)x?0?y?0

将?1?2代入二元一次方程组?

?0?x?(??1)y?0

解得y?0，x可以为任何非零实数，不妨记x?k,k?R，且k?0．

?1?

于是，矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为??． …………12分

?0?

?(??2)x?0?y?0

将?2?1代入二元一次方程组?

?0?x?(??1)y?0

解得x?0，y可以为任何非零实数，不妨记y?m,m?R，且m?0．

?0?

于是，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为??．

?1?

?1??20?

??2??1因此，矩阵M??的特征值为，，分别对应的一个特征向量是，12???

?0??01?

2

2

2

020

P>

?0?

?1?． …………14分 ??

16．解：⑴设直线l上任意一点为Q(?,?)， 如图，在?POQ中，由正弦定理得

OQOP

?

sin?OPQsin?OQP

3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直线的极坐标；12⑵应用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛；直线l的普通标方程是x?y?4；设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直

--------------------------------------------------------------------------------

3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44

3???)?22． …………7分 所以，直线的极坐标方程是?sin(4

12⑵应用代入消元法，得x?(2y)， 8

因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲线是抛物线．

直线l的普通标方程是x?y?4

设直线l与曲线的交点记作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8联立成方程组，得?，?或?，

?x?y?4?y1?2?y2??4

AB?(8?2)2?(?4?2)2?62

所以，直线l被曲线截得的弦长为62． …………14分

17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A

113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67

故n?4． …………2分

①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B．

3C44P(B)?3?， C735

31． 35

31答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为． …………6分 35

②用随机变量X为取出的4个球中红球的个数，则X服从超几何分布H(4,3,7)． 随机变量X的可能值有4种，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根据对立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?

4C41 P(X?0)?4?C735

13C3C412P(X?1)?? 435C7

2C32C418 P(X?2)??435C7

6

31C3C44 P(X?3)??435C7

随机变量X

1?1??2??3???． 从而E(X)?0?35353535357

n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1

2414424???． 49749

1224答：随机变量X的数学期望为，方差为 …………10分 749

11C3Cn3n6n6???⑵证法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n

63?记f(n)?n?,n?N当n=2或3时取最小值为5，P?． …………14分 n5

证法二：反证法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65

33*因为n?N，所以不存在正整数n，满足P?．因此，P?． …………14分 55假设P?

18．⑴命题p:不等式x?

2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，

即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2

即a?0． …………2分 命题q:函数g?x??x?2ax?2在?2,???上单调递增 2

即a?2．

若p和q都是真命题，则0?a?2．

所以，实数a的取值范围是?0,2?． …………4分

a在x??2,???上的值域记作集合M， x

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域记作集合N，

由题意可得，M?N． ⑵f(x)?x?

7

（?）当a?0时，满足M?N， …………5分 （?）当a?0或0?a?2时，x??2,???f?

(x)?0， a在x??2,???上单调递增， x

?a?集合M???2,???， ?2?

g?x??x2?2ax?2在???,a?上单调递减，在?a,2?上单调递增， 则f(x)?x?

集合N??a2?2,??， ??

a1?2，即a?0或a?? 22

1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2

（?）当2?a?4时，x??2,???时f?(x)?0， a?a?则f(x)?x?在x??2,???上单调递增，集合M???2,???， x?2?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， 因为M?N，所以?a?2?2

4??2?a?a因为M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?

（?）当a

?4时，x??时f

?(x)?0，x???时f?(x)?0 ??

则f

(x)的单调减区间是?，单调增区间是??，集合M????， ?

?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上单调递减，集合N??6?4a,???， ??

因为M?N，所以?

综上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2

19．解：⑴从A1中取一个元素，有1种取法；从A2中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)

1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53

用数学归纳法证明如下：

①当n?1时，左边?f(1)?24，右边?1534?3?3??3?24 55

8

左边?右边，所以当n?1时命题成立； …………9分 ②假设当n?k时命题成立，即

14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55

则当n?k?1时，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)

14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55

1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5

1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

从而当n?k?1时，命题也成立． f(1)?f(2)?

综上可知，原命题成立． …………16分

323220．解：(a1x?d)5的展开式中含x的项为C5a1dx?10a12d3x2，含x的项为23

10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123

解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，

则(x?3)的展开式中二项式系数最大的项为T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，则[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n

01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?

01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n

n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333

?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

∴b1?b3?b5?

∴a1b1?a2b2?

12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7C

n?11Cn?

0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 则S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?

9

nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?

012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1

n?Cn)?2

∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1

2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)

∵n?2

∴2n?4

∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22

5?42n?C2

52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4

2?11?16n?8n4

10 16分 …………