福建省厦门第一中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二年数学试卷（理科） 2013.4第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。1．已知复数，则的共轭复数等于A． B. C. D. 2．函数的 A．极小值为 B．极大值为 C．极小值为 D．极大值为 3．某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为 A. B. C. D. 4．已知的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是A B C D5.已知函数的导函数为，且满足则A． B． C． D．在闭区间上的最小值是 A． B． C．　 D．7.曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为A. B. C. D. 8．若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为A． B． C． D．9. 已知函数，若，则是成立的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10.对于任意两个正整数,定义某种运算当都为偶数或奇数时, ;当中一个为奇数,另一个为偶数时, .则在上述定义下,集合中元素的个数为A. B. C. D. 第1页（共4页）第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的相应位置。11．在复平面上，（按逆时针排序）的三个顶点对应复数分别为，，，则对应的复数为 ▲ 。12．等于 ▲ 。13．某班准备了5个节目将参加厦门一中音乐广场活动（此次活动只有5个节目），节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案共有 ▲ 种。14．黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖有 ▲ 块.15.已知在不是单调函数，则的取值范围为 ▲ 。 16.给出下面几个推理：①由“”得到结论： 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；④由“”推得。其中是演绎推理的序号是 ▲ 。三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。17．（本小题满分12分）如图，直线与相切于点（）求实数的值；（）与直线及围成的图形的面积。18．（本小题满分12分）厦门市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元， 销售价是元，月平均销售件. 通过改进工艺， 产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为,记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（）与的函数关系式；（），其中常数 （Ⅰ）求的单调;（Ⅱ）若有且只有一个零点，求的取值范围。gkstk20．（本小题满分12分）设为实数，函数。 (Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)求证：当且时，。gkstk第3页（共4页）21．（本小题满分14分）在数列中，。（Ⅰ）求，猜想数列的通项公式，并加以证明；（Ⅱ）当时，试比较与的大小，证明你的结论。gkstk22．（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，对任意，且，都有，求实数的取值范围。gkstk第4页（共4页）厦门一中2012-2013学年高二（上）期中考理科数学答题卷 题号选择题填空题171819202122 总分得分二.填空题：11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. 。三.解答题：17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)解：第1页（共4页）19.(本题满分12分)解：20.(本题满分12分)解：第2页（共4页）21（本题满分14分）解：第3页（共4页）22．（本题满分14分）解：第4页（共4页）厦门一中2012—2013学年度第二学期期中考高二年理科数学试题参考解答 一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B2．C3．D4．D5．A6．C7．D8．B9．C10．B二、填空题：每小题4分，满分24分．11． 12． 13． 14． 15. 或 16. ②④ 三、解答题（本大题共六小题，满分76分）17．（本题满分12分）解: （）得，gkstk　　因为直线与抛物线相切，解得．（6分）解法2．设切点，由得，　　所以切线在点处的斜率为，因为切线的斜率为，则，，又在抛物线上，所以，（3分）于是的坐标为，因为在直线s上，所以，．（6分）（II）（12分）18.（本题满分12分）解: (1)改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元）， （4分）所以，与的函数关系式为 . （5分）(2)由得，（舍）, （7分）当时；时，所以，函数 在取得最大值. （11分）第1页（共4页）故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.（12分）19.（本题满分12分）解：（I）（2分）由知，或；（3分）；（4分）综上知，当时，的递增区间为和，递增区间为。（6分）（II）由（I）知，当时，取得极大值。 （7分） 当时，取得极小值。 （8分）由题设知w.或 （10分） 解得 ， 故的取值范围是 （12分）gkstk20.（本题满分12分）解：(Ⅰ)由得，（2分）令得，（3分）当时，；当时，，（4分）故当时，有极小值也是最小值为。（6分）(Ⅱ) 设，则，（7分）由(Ⅰ) 及知有最小值（9分）于是对于，都有，所以在上递增，（10分）而，从而对任意，，即。（12分）第2页（共4页）21.（本题满分14分）解：(Ⅰ) 由，得（1分），同理可得，（2分），（3分），猜想（4分）。当时，已证明；假设当时，猜想成立，即则当时，所以当时，猜想成立，故对任意，猜想成立（7分）。（Ⅱ）因为，所以，gkstk于是，当时，，即（9分）。当时，猜想，（10分）证明如下： 当时，显然假设当时，猜想成立，即，则当时，，而于是，所以，当时，猜想成立，故当时，。（14分）另证：设则，当时，第3页（共4页）所以在上递增在上递增，所以，当时，猜想成立，即当时，。（14分）22.（本题满分14分）解：（Ⅰ）函数的定义域，（2分）当时，恒成立，此时，函数在上是增函数（3分）当时，由解得；由解得，（4分）此时，函数在上是增函数；在上是减函数。（5分）（Ⅱ）当时，函数在上是增函数，又函数在上是减函数，不妨设，则，所以等价于，即．（7分）设，gkstk则等价于函数在区间上是减函数．（8分）于是即在时恒成立，（10分）从而在上恒成立，（11分）而函数在区间上是增函数，所以的最大值为．（12分）于是，又，所以．座位号 班级 座号 姓名 准考证号 班级 座号 姓名 准考证号 福建省厦门一中2012-2013年高二下学期期中数学理试题
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