2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，，则 （ ）A、B、 C、 D、2、以下有关命题的说法错误的是（ ） A、命题“若，则”的逆否命题为“若,则”B、若为假命题，则、均为假命题C、“”是“”的充分不必要条件D、对于命题，使得，则，则3、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ）A、9 B、18 C、27 D、364、已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是（ ）A、1 B、C、D、 在平行六面体中，设，则等于（　　）A、 B、 C、 D、6、若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A B、5 C、 D、27、对任意非零实数，定义的算法原理如上右程序框图所示。设为函数的最大值，为双曲线的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是( )A、 B、 C、 D、8、已知曲线C：y＝2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是(　　)A(4，＋∞) B、(－∞，4] C(10，＋∞) D(－∞，10]9、抛物线与双曲线有相同的焦点F点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 (　　)A、 B＋1 C＋1 D、10、棱长均为1三棱锥，若空间一点P满足，则的最小值为（　　）A、 B、 C、 D、11、已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（ 　）A、 B、 C、 D、12、如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则 （　　）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共分（ ）, （ ）（）表示生成0到1之间的随机数,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为 。（）表示生成0到1之间的随机数14、有共同渐近线，且过点的双曲线方程是 。15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA?PB=k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；③抛物线的焦点坐标是；④曲线与曲线（＜35且≠10）有相同的焦点．其中真命题的序号为　16、点在函数的图象上运动，则2x?y的最大值与最小值之比为　　　　三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1分），设命题p:函数在R上单调递增；命题q:不等式对恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围。18、（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离（12分）中，、、分别是角、、的对边，且。(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，求△的面积。21、（12分）已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．(Ⅰ)当直线l过抛物线C的焦点F时，求AB；(Ⅱ)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由（12分）已知椭圆的焦距为4,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由2013——2014学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（理科答案）一．选择题：1.C；2.B；3.B；4.D；5.D；6.A；7.B；8.D；9.C；10.B；11.C；12.A．二．填空题：13． ； 14． ； 15． ③④； 16． .三、解答题：17、解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；……………2分又不等式ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，∴△＜0，即a2-4a＜0，∴0＜a＜4，……………4分∴q：0＜a＜4．而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．①若p真，q假，则a≥4；……………6分②若p假，q真，则0＜a≤1．……………8分所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．……………10分18、解：方法一、（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. ………2分在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC与PB所成角的余弦值为.………6分 （2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在Rt△ADF中设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离，N点到AP的距离………12分方法二、（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1）， ………3分从而设的夹角为θ，则∴AC与PB所成角的余弦值为. ………6分 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE⊥面PAC可得，∴………10分即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.…12分19、解： （Ⅰ）由余弦定理得，∴， ∴，∴．∵底面，底面，∴．又∵，∴平面，又平面，∴．6分（Ⅱ）已知，，由（Ⅰ）可知平面，如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系，则,，，，.8分设平面的法向量为，则，∴，令，∴可取． 9分同理设平面的法向量为，则，∴．10分∴∴二面角的余弦值大小为．12分20、解：（1） ∴由正弦定理： ∴……………………………………………………3分 又∵ ∴ ∴ ………………………………………………………6分（2）∵………………………………………………8分 ∴ ∴ ∴………………………12分21、解: (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝x＋b可得b＝－，………………………………………………1分∴l：y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x2－18x＋1＝0，∴x1＋x2＝18，x1x2＝1， (方法一)AB＝?x1－x2＝?＝20. ………………………………………………4分(方法二)AB＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20. ………………………………4分(2)假设存在满足要求的直线l：y＝x＋b，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去x得y2－8y＋8b＝0，∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b， …………………………6分设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1、k2，则α＋β＝135°，tan(α＋β)＝tan135°?＝－1， ……………………8分其中k1＝＝，k2＝＝，代入上式整理得y1y2－16＋4(y1＋y2)＝0， ……………………………………10分∴8b－16＋32＝0，即b＝－2，………………………………………11分代入Δ＝64－32b＝128>0，满足要求．综上，存在直线l：y＝x－2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135°.…12分22、解: (1)因为椭圆过点 且 椭圆C的方程是 …（4分）(2) 由题意,各点的坐标如上图所示, …（6分）则的直线方程: 化简得 …（8分）又, 所以带入 得 …（11分）求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点. …（12分） 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源www.gkstk.comABCDPM第19题图ABCDPMxyz辽宁省五校协作体2013-2014学年高二上学期期中考试数学理试题
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