天津一中2013—2014高二年级第一学期期中考试数学试卷一、选择题：1．如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不可能垂直 2．如果直线是平面的斜线，那么在平面内 A．不存在与平行的直线 B．不存在与垂直的直线C．与垂直的直线只有一条 D．与平行的直线有无穷多条．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是A．60° B．120°C．45° D．135°同时平行于直线，则的值为 A． B． C． D．5．在正方体中，面对角线与成角的有A． 10条 B．8条 C． 6条 D．4条6．已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于B．C．D．到直线的距离不大于，则的取值范围是 A． B． C． D．A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A．．．．方体放在水平桌面上，然后将该长方体绕慢慢转动使之倾斜，在此过程中有下列四种说法①棱始终与水面平行； ②长方体内有水的部分始终呈直棱柱状；③水面的面积始终不变； ④侧面与水接触面的面积始终不变； 以上说法中正确结论的个数是 A． B． C． D．11．如图所示是某几何体的三视图，其中正视图是斜边为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是__________。12．△的三个顶点坐标为，则边上高线的长为__________。13．若直线不经过第一象限，则的取值范围是 __________。14．上有一点，它到点和点的距离之和最小，则点的坐标是__________。15．如图所示：直角梯形中，，为中点，沿把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点重合，则这个三棱锥的体积等于__________。16．如图所示：若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为和直线，求一点，使，且点到直线的距离等于2 或18．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．求证：（1）平面平面；（2）直线平面．19．四棱锥中，⊥底面，//，，（1）求证：⊥平面；（2）求二面角D的；（3）求点到平面的距离。中，侧面,已知（1）求证：平面（2）试在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得（3）在（2）的条件下，若,求二面角的平面角的正弦值。参考答案：一、选择题：1．C 2．A3．12．13．14．16．三、解答题：17．解：设P（x0，y0） AB中点（3，-2）∴直线AB的中垂线∴y+2=k(x-3)∴y=x-5∴点P在AB中垂线上，且到l距离为2∴∴∴18．证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。又∵平面，∴。又∵平面，∴平面。又∵平面，∴平面平面。（2）∵，为的中点，∴。又∵平面，且平面，∴。又∵平面，，∴平面。由（1）知，平面，∴∥。又∵平面平面，∴直线平面证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BC∵∠ACB=90°∴BC⊥AC又∴BC⊥平面PAC解：（II）取CD的中点E，则AE⊥CD∴AE⊥AB又PA⊥底面ABCD，底面ABCD∴PA⊥AE建立空间直角坐标系，如图。则A（0，0，0），设为平面PAC的一个法向量为平面PDC的一个法向量，则，可取；，可取（III）又B（0，2，0），由（II）取平面PCD的一个法向量∴点B到平面PCD的距离为20．证明：（1）∵BC=1 BB1=2 ∠BCC1=60o∴BC12=1+4-2?1?2cos60o=3∴BC1=∴BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC∵AB⊥而BB1C1CABBC1BC1⊥而ABC（2）∵AB⊥而BCC1B1BC1⊥BC建立如图所示空间直角坐标系∴B（0，0，0），C（1，0，0），C1（0，，0），B1（-1， ，0），A（0，0，z）设E（a，b，0）∴∴（a-1，b，0）=（-1，，0）∴E（1-，，0）∴∴（-1，-，z）?（-2+，-，0）∴（1+）（2+）+（-）（-）=02-3+2+32-=042-6+2=0=1（舍）或=∴∴E是CC1中点（3）设面AEB1的法向量A1（-1，，），A（0，0，），E（）∴ ∴∴设面A1B1E的法向量 ∴∴∴∴ 天津市天津一中2013-2014学年高二上学期期中考试（数学理）
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