2013年12月南山中学2015级12月模拟考试(理科)数学试题题卷命题:周莉莎 审题:罗伟考生注意:本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分120分,考试时间100分钟.选择题用2B铅笔填涂,其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.第Ⅰ卷(共40分)一、选择题(本大题有10个小题,每个小题给出的四个选项中只有一个正确,请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分,共40分.)1.直线的倾斜角为( )A. B. C. D.2.( )A. B.C.D.3.《几何原本》的作者是( )A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫4.将点的直角坐标(-2,2)化是正值,极角在0到之间的极坐标是( )A.(4,)B.(4,)C.(4,)D.(4,)5. 已知,则方程表示的平面图形是( )6.如果执行图1的框图,输入N=5,则输出的数等于( ). B. C. D. 7.圆在点处的切线方程为( )A. B. C. D.过点作直线与双曲线交于AB两点,使点P为AB中点,则这样的直线( )A.存在一条,且方程为B.存在无数条C.存在两条,方程为D.不存在上到直线的距离为的点共( )A. B.C.D.10.下列三图中的多边形均为正多边形,M、N是所在边上的中点,双曲线均以图中的F1、F2为焦点,设图①、②、③的双曲线的离心率分别为e1,e2,e3,则( ) A.e1>e2>e3 B. e1<e2<e3 C. e1=e3<e2 D.e1=e3>e2 II卷(共80分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.)11.在空间直角坐标系中,点与点的距离是 .12.经过点,且与两坐标轴的截距相等的直线方程是 . (用一般式方程表示)13某同学在四次语文单元测试中,其成绩的茎叶图如图所示,则该同学语文成绩的方差 .( 第13题图) (第14题图)14. 如上图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为 .15.给出下列结论:①与圆及圆都外切的圆的圆心在一个椭圆上.②若直线与双曲线则.③经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点,且,则.④抛物线上的点到直线的距离的最小值为.其中正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共4个小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.(10分) 在直角坐标系中,以坐标原点为圆心的圆与直线:相切求圆的方程;若圆上有两点关于直线对称,且,求直线的方程.17.(10分) 某校从高二年级学生中随机抽取40名学生,将他们的单元测试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:后得到如图所示的频率分布直方图.若该校高二年级共有学生640人,试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数;若从数学成绩在和两个分数段内的学生中随机选取2名学生,求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.18.(10分)如图:已知直线与抛物线交两点,且,交于点,点的坐标为.求的值;求的面积.19.(10分)已知圆,坐标原点为.圆上任意一点在轴上的射影为点,已知向量.求动点的轨迹的方程;当时,过点S (0,-)的动直线l交于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得为直径的圆恒过点?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.附加题:20.在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,试探究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.,当的取值变化时,关于的方程的直线有无数条,这无数条直线形成了一个直线系,记集合{仅有唯一直线}.(1)求中点的轨迹方程;(2)设{为常数},任取,如果的最小值为,求的值.南山中学2015级12月模拟考试 数学(理)答题卷 题号二1617181920 21总分分数二、填空题:本大题共小题,每小题分,共分.把答案填在题中横线上.1. .12. .1. .14. .15. .三、解答题:本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.得 分评卷人 16.(本题满分分)得 分评卷人1.(本题满分分)得 分评卷人.(本题满分分)得 分评卷人.(本题满分分)得 分评卷人.( 本题满分1分)得 分评卷人.(本题满分分)一、选择题(本大题有10个小题,每个小题给出的四个选项中只有一个正确,请把正确选项涂在机读卡上.每小题选正确得4分,共40分.)1~5:CDAAD; 6~10:BBDBC二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上.)11.; 12.或; 13. 45; 14. ; 15.②④三、解答题(本大题共4个小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.解(1)直线与圆相切 == 的方程为:……………………………………………………….…(4分)(2)关于直线对称 可设所在的直线方程为:…………………………………………….(5分)到的距离为1………………………………………………………………………….(7分)即直线的方程为:…………………........…(10分)17.解:由频率分布直方图已知(1)不低于60分的学生所占的频率为:不低于60分人数为:6400.85=544(人)………………………………………………...(2分)(2)第一组的学生人数为:0.0540=2(人),记为……………………………...(3分)第六组的学生人数为:0.140=4(人),记为………………………..…..(4分)则从这两个分数段内的学生中随机选取2人所包含的基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,共15种.设“这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件事件所包含的的基本事件有:,,,,,,共7种.…………………………………………………………………………………….…….(10分)18.解(1) 又 直线的方程为.………………………………………………………………….…(1分)设,,则由…………………….…(2分)又联立方程 消可得 ①, ………………………………………………………….……….…(3分)当时,方程①成为 显然此方程有解. ……… ….…(5分)(2)法一:由 .………....…(7分).…………………………………………………………………………………………...…(8分) ………………………………….......….…(10分)法二:后面做法同法一.19.解(1)设,, 又在圆上轨迹的方程为即…………………………….………………………(4分)(2)当时,轨迹的方程为(?)当与轴平行时,以AB为直径的圆的方程为当与轴平行时,以AB为直径的圆的方程为由解得即两圆相切于点(0,1),……………………..……………(6分)因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下:当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1).若直线l不垂直于x轴,可设直线l的方程为y=kx-,由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则又因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以?=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-)(kx2-)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=(1+k2)?-k?+=0,所以TATB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1),在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.…………………………………………………(10分)20.解 (1)依题意知直线A1N1的方程为:y=(x+2),直线A2N2的方程为:y=-(x-2),设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,×②得y2=-(x2-4),由mn=3,整理得+=1,N1,N2不与原点重合,点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,轨迹M的方程为+=1(x≠±2),…………………………………………………………………(3分)(2)∵点A(1,t)(t>0)在轨迹M上,+=1解得t=,即点A的坐标为,设kAE=k,则直线AE方程为:y=k(x-1)+,代入+=1并整理得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+42-12=0,设E(xE,yE),F(xF,yF),点A在轨迹M上,xE=,yE=kxE+-k,又kAE+kAF=0得kAF=-k,将、式中的k代换成-k,可得xF=,yF=-kxF++k,直线EF的斜率kEF==,xE+xF=,xF-xE=,kEF===,即直线EF的斜率为定值,其值为.…………………………………………………………..………(10分)21.解(1)由题意易知,仅有唯一解所求的轨迹方程为.……………………………………………………..……………(3分)(2)设直线与轨迹相切,则由 消可得 即的最小值为.……………………………………………………………....…………………(10分)!第1页 共13页学优高考网!!南山中学2015级12月模拟考试(理科)数学试题参考答案及评分细则(仅供参考) 班级 姓名 考号 — — — — — — — — — — — — — —密— — — — — — — — — —封— — — — — — — — — —线— — — — — — — — — — — — 一 11 412 6 813 2四川省绵阳南山中学2013-2014学年高二上学期12月月考试题 数学(理)
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