命题人：高二数学备课组
　　(考试时间：2015年1月　15日　　)满分：100分(必考试卷Ⅰ)　　　　50分(必考试卷Ⅱ)
　　时量：120分钟
　　得分：　　　　　　　
　　
　　必考试卷Ⅰ
　　一、：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　1.复数i＋i2在复平面内表示的点在
　　
　　A.第一象限
　　B.第二象限
　　C.第三象限
　　D.第四象限
　　2.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是
　　A.x>1 B.x<1
　　C.x>3 D.x<3
　　3.若f(x)＝2cos α－sin x，则f′(α)等于
　　A.－sin α
　　B.－cos α
　　C.－2sin α－cos α
　　D.－3cos α
　　4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是
　　①z1，z2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z1，z2是虚数.
　　A.①②③ B.②①③
　　C.②③① D.③②①
　　5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为
　　A.17或－1 B.－17或1
　　C.－1 D.1
　　6.设F1，F2是椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为
　　A.10
　　B.20
　　C.2
　　D.4
　　7.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－2)f′(x)≤0，则必有
　　A.f(－3)＋f(3)<2f(2)
　　B.f(－3)＋f(7)>2f(2)
　　C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)
　　D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)
　　二、题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
　　8.复数10的值是　　　　　　.
　　9.用反证法证明命题：“若x，y>0，且x＋y>2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为　　　　　　　　　　　　　　.
　　10.已知等差数列{an}中，有＝成立.类似地，在等比数列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.
　　11.曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为　.
　　12.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为　　　　　.
　　13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝　　　　　.
　　三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
　　14.(本小题满分11分)
　　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.
　　15.(本小题满分12分)
　　已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.
　　(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
　　(2)用数学归纳法证明所得的结论.
　　
　　
　　16.(本小题满分12分)
　　如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.
　　(1)证明：AE⊥PD；
　　(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E－AF－C的余弦值.
　　
　　必考试卷Ⅱ
　　一、：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
　　1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，则的取值范围是
　　
　　A.
　　B.∪(5，＋∞)
　　C.(－∞，3)
　　D.
　　二、题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
　　2.设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，则k＝　　　　　.
　　三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
　　3.(本小题满分13分)
　　某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a、ln(b＋1)万元(＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.
　　(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
　　(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
　　4.(本小题满分13分)
　　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点与点N.
　　(1)求椭圆C的方程；
　　(2)求?的最小值，并求此时圆T的方程；
　　(3)设点P是椭圆C上异于，N的任意一点，且直线P，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：?为定值.
　　
　　5.(本小题满分14分)
　　已知函数f(x)＝ex，x∈R.
　　(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；
　　(2)设x>0，讨论曲线y＝与直线y＝(>0)公共点的个数；
　　(3)设函数h满足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，试比较h(e)与的大小.
　　
　　
　　湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题
　　数学(理科)参考答案
　　必考试卷Ⅰ
　　又∵函数f(x)在[－4,5]上连续.
　　∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)
　　∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)
　　15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜测an＝2－(5分)
　　(2)①由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)
　　②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－，(8分)
　　当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
　　且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
　　∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，
　　∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
　　即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)
　　根据①②得n∈N＋时，an＝2－都成立.(12分)
　　16.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC为正三角形.
　　因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
　　又BC∥AD，因此AE⊥AD.
　　因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.
　　而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
　　所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
　　所以AE⊥PD.(5分)
　　
　　(2)解：因为AH⊥PD，
　　由(1)知AE⊥平面PAD，
　　则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
　　在Rt△EAH中，AE＝，
　　此时tan∠EHA＝＝＝，
　　在Rt△AOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，
　　又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin 45°＝，
　　又SE＝＝＝，
　　在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，
　　即所求二面角的余弦值为.(12分)
　　解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以
　　
　　A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，
　　F，
　　所以＝(，0,0)，
　　＝.
　　所以cos〈，〉＝＝＝.
　　因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)
　　必考试卷Ⅱ
　　一、选择题
　　1.D　【解析】由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得∈.
　　二、填空题
　　2.－1　【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.
　　f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)
　　故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.
　　三、解答题
　　3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴f(x)＝(10－x)＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)－＋1，(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)
　　(2)f′(x)＝－＝＝，
　　令y′＝0，得x＝10－1(8分)
　　1°　若10－1≤1即0＜≤，则f(x)在[1,9]为减函数，当x＝1时，f(x)有最大值；新课 标第 一 网
　　2°　若1＜10－1＜9即<<1，则f(x)在[1,10－1)是增函数，在(10－1,9]是减函数，当x＝10－1时，f(x)有最大值；
　　3°　若10－1≥9即≥1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x＝9时，f(x)有最大值.
　　因此，当0＜≤时，投放B型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.
　　当<<1时，投放B型电视机(10－1)万元，农民得到的总补贴最大；
　　当≥1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)
　　4.解：(1)依题意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；
　　故椭圆C的方程为＋y2＝1.(3分)
　　
　　(2)方法一：点与点N关于x轴对称，
　　设(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.
　　由于点在椭圆C上，
　　所以y＝1－.(*)(4分)
　　由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，
　　∴?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3
　　方法二：点与点N关于x轴对称，故设(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，
　　不妨设sin θ>0，由已知T(－2,0)，则
　　?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)
　　故当cos θ＝－时，?取得最小值为－，此时，
　　又点在圆T上，代入圆的方程得到r2＝.
　　故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝.(8分)
　　(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线P的方程为：
　　y－y0＝(x－x0)，
　　令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)
　　故xR?xS＝(**)(11分)
　　又点与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)
　　代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4为定值.(13分)
　　方法二：设(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线P的方程为：y－sin α＝(x－2cos α)，
　　令y＝0，得xR＝，
　　同理：xS＝，(12分)
　　故xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4为定值.(13分)
　　5.解：(1)f的反函数g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x相切于点P(x0，y0)，则⇒x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)
　　(2)当x>0，>0时，曲线y＝f(x)与曲线y＝x2(>0)的公共点个数
　　即方程f(x)＝x2根的个数.
　　由f(x)＝x2⇒＝，令v(x)＝⇒v′(x)＝，
　　则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)∈(v(2)，＋∞)；
　　v(x)在(2，＋∞)上单调递增，这时v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝.
　　v(2)是y＝v(x)的极小值，也是最小值.(5分)
　　所以对曲线y＝f(x)与曲线y＝x2(>0)公共点的个数，讨论如下：
　　当∈时，有0个公共点；
　　当＝时，有1个公共点；
　　当∈时有2个公共点；(8分)
　　(3)令F(x)＝x2h(x)，则F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝
　　所以h＝，故h′＝＝＝
　　令G(x)＝ex－2F(x)，则G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2?＝
　　显然，当0<x<2时，G′(x)<0，G(x)单调递减；
　　当x>2时，G′(x)>0，G(x)单调递增；
　　所以，在(0，＋∞)范围内，G(x)在x＝2处取得最小值G(2)＝0.
　　即x>0时，ex－2F(x)≥0.
　　故在(0，＋∞)内，h′(x)≥0，
　　所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，
　　又因为h(2)＝＝>，h(2)<h(e)
　　所以h(e)>.(14分)


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