中山市高二级2015—2015学年度第一学期期末统一考试一、选择题：ADCB BADB二、填空题：9．162； 10； 118； 12②④； 135； 14②④.三、解答题： 15．解：（1）中， . ………………………………（2分）中， . ………………………………（4分）的面积为 . ………（6分）（2）中， ………（9分）== …………………………………（11分）==. ……………………………………………………（13分）16解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以， ………………………………（3分）即，解得或. ……………………………（6分）（2）因为数列的公差，且, 所以， ………………………………（9分）即，解得. ………………………（13分）17解：设每天食用kg食物A，kg食物B，总花费为元，则目标函数为，且满足约束条件， …………………………………………………………（3分）整理为，……（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………（7分）将目标函数变形为. 如图，作直线，当直线平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距最小，即此时有最小值. ……（9分）解方程组，得点M的坐标为. …………………………………………………………………（11分）∴ ……………………………………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A约kg （或0.143 kg），食物B约kg（或0.571 kg），能够满足日常饮食要求，且花费最低16元. ………………………………………（13分）18. 解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、 ……………………（2分） ………（4分） ………………………（6分）所以异面直线与所成角的余弦为. ……………（7分）（2）设平面的法向量为 则由由 ……………………………………（9分）取， …………………………………………（10分）， …………………………………（12分）所以直线与平面所成角的正弦值为. …………………（13分）19解：（1）抛物线的方程化为，所以，. ………（2分）∴ 抛物线C的焦点坐标为. ………………………………………（4分）（2）联立方程组，解得点A坐标为. ……………………（6分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………（7分）所以直线AB的方程为， ……………………（8分）令，解得. ∴ 点M的坐标为. ……………………………………………（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点. ……………………………（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为 （），则另一条为联立方程组，解得点A坐标为. …………………………（11分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………………（12分）所以直线AB的方程为， …………………………（13分）令，解得.∴ 直线AB恒过定点. ………………………………………………………（14分）20. 解：（1）由，得. …………………（1分）令，得. ………………………………………………（2分）与随x的变化情况如下: ……………………………………………………（4分）所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值. ………………………………………………………（5分）（2）因为曲线在点处与直线相切，所以，， ……………………………（7分）解得，. ………………………………………………（9分）（3）当时，曲线与直线最多只有一个交点；当时，>，，所以存在，，使得. ………（12分）由于函数在区间和上均单调，所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点. ………………………………（13分）综上可知，如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. ……………………………………………………（14分）学优高考网！！广东省中山市2015-2016学年高二上学期期末考试（数学理）扫描版
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