第04讲： 基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（当且仅当_______时，等号成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（ ）
A．15 B．12C．9 D．6

例2．函数 的值域是_________________________.

　例3（2001江西、陕西、天津,全国、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（三）基础训练：
1.设 且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)

2.（2004湖南理）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A） ≥4 （B） ≥
（C） ≥ （D） ≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽、理）若 为实数，且 ，则 的最小值是（ ）
（A）18 （B）6（C） （D）

4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是（ ）
　（A） （B）
（C） （D）
5．（2005福建）下列结论正确的是（ ）
A．当 B．
C． 的最小值为2D．当 无最大值

6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.

7.若 且 则 中最小的一个是__________.

8.（2005北京春招、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 （千辆/小时）与汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系为： 。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若 ,P= ,Q= ,R= ,则（ ）
（A）R<P<Q　 （B）P<Q<R　（C）Q<P<R　　（D）P<R<Q

2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。

参考答案
第04讲： 基本不等式
（二）例题分析： 例1． C； 例2． ；
例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840．
设纸张面积为S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，
将 代入上式，得 ．
当 时，即 时，S取得最小值．
此时，高： ，宽： ．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.
8. 解：（Ⅰ）依题意，

（Ⅱ）由条得
整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25<v<64.
答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．

（四）拓展训练：1. B;
2．解：因为a、b是正数，所以 ，即 ，
法一：令 ，则 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，（t>0）
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）
整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

答： ab与a+b的取值范围分别是 与 。

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