最小二乘估计

教学目标：1、掌握最小二乘法的思想
2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
教学重点：最小二乘法的思想
教学难点：线性回归方程系数公式的应用
教学过程
回顾：上节我们讨论了人的身高与右手一?长之间的线性关系，用了很多种方法刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式

方法二、

显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它表示二者之间的接近程度。
问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：

使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
问题4、怎样使 达到最小值？
先讨论3个样本点的情况
设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数 ，如下所示：

利用配方法可得

从而当 时，使得函数 达到最小值。
将 代入①式，整理成为关于b的一元二次函数 ，



同样使用配方法可以得到，当


时，使得函数 达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：


其中
由 我们知道线性回归直线y=a+bx一定过 。
例题与练习
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表
气温（xi）／oC261813104-1
杯数（yi）／杯202434385064
（１）试用最小二乘法求出线性回归方程。
（２）如果某天的气温是－3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
解：（1）先画出其散点图

ixiyixi2xiyi
12620676520
21824324432
31334169442
41038100380
545016200
6－1641－64
合计7023012861910
可以求得
则线性回归方程为
y =57.557－1.648x
（2）当某天的气温是－3 oC时，卖出热茶的杯数估计为：

练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x0123
y1357

（A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）

练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称ABCDE
销售额（x）/千万元35679
利润额（y）/百万元23345
（１）画出销售额和利润额的散点图；
（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。

解：（1）

（2）数据如下表：
ixiyixi2xiyi
13296
2532515
3633618
4744928
5958145
合计3017200112
可以求得b=0.5，a=0.4
线性回归方程为：
小结
1、最小二乘法的思想
2、线性回归方程的系数：

作业：P60 习题1－8 第1题

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