2.3离散型随机变量的均值与方差教案一(新人教A版选修2-3)

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2.3.2离散型随机变量的方差
目标:
知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”, 以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的化功能与人价值。
重点:离散型随机变量的方差、标准差
教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题
教具准备:多媒体、实物投影仪 。
教学设想:了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”,以及“若ξ~Β(n,p),则Dξ=np(1—p)”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授类型:新授
时安排:2时
教 具:多媒体、实物投影仪
内容分析:
数 学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念:设在一组数据 , ,…, 中,各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 , ,…, ,那么 + +…+
叫做这组数据的方差
教学过程:
一、复习引入:
1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
5. 分布列:
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
7.二项分布:ξ~B(n,p),并记 =b(k;n,p).
ξ01…k…n
P


8.几何分布: g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, .
ξ123…k…
P

9.数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称 … … 为ξ的数学期望,简称期望.
  10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令 … ,则有 … , … ,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
12. 期望的一个性质:
13.若ξ B(n,p),则Eξ=np
二、讲解新:
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是 , ,…, ,… ,且取这些值的概率分别是 , ,…, ,…,那么,
= + +…+ +…
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的 是随机变量ξ的期望.
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差,记作 .
3.方差的性质:(1) ;(2) ;
(3)若ξ~B(n,p),则 np(1-p)
4.其它:
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛
三、讲解范例:
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
解:抛掷散子所得点数X 的分布列为
ξ123456

从而

例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:
甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800
获得相应职位的概率P10.40.30.20.1

乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000
获得相应职位的概率P20.40.3 0.20.1
根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?
解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得
EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1
= 1400 ,
DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3
+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1
= 40 000 ;
EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l
= 160000 .
因为EX1 =EX2, DX 1<DX2,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.

例3.设随机变量ξ的分布列为
ξ12…n
P

求Dξ
解:(略) ,
例4.已知离散型随机变量 的概率分布为

1234567

P

离散型随机变量 的概率分布为

3.73.83.944.14.24.3
P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差
解: ;


=0.04, .
点评:本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值,但 的取值较为分散, 的取值较为集中. , , ,方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.
=2, =0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
例5.甲、乙两射手在同一条下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
解:
+(10-9) ;
同理有
由上可知, , 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8、10环地次数多些.
点评:本题中, 和 所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同. =9,这时就通过 =0.4和 =0.8比较 和 的离散程度,即两名射手成绩的稳定情况
例6.A、B两台机床同时加工零,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示:
A机床B机床
次品数ξ10123次品数ξ10123
概率P0.70.20.060 .04概率P0.80.060.040.10
问哪一台机床加工质量较好
解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同,再比较它们的方差
Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2
×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2
×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
四、堂练习:
1 .已知 ,则 的值分别是( )
A. ;  B. ;  C. ;  D.
答案:1.D
2 . 一盒中装有零12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.
分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事.
解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然ξ所有可能取的值为0,1,2,3
当ξ=0时,即第一次取得正品,试验停止,则
P(ξ=0)=
当ξ=1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则
P(ξ=1)=
当ξ=2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则
P(ξ=2)=
当ξ=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则P(ξ=3)=
所以,Eξ=
3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ,从中任意地连续取出200商品,设其中次品数为ξ,求Eξ,Dξ
分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题,关键是理解清楚:抽200商品可以看作200次独立重复试验,即ξ B(200,1%),从而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算
解:因为商品数量相当大,抽200商品可以看作200次独立重复试验,所以ξ B(200,1%) 因为Eξ=np,Dξ=npq,这里n=200,p=1%,q=99%,所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98
4. 设事A发生的概率为p,证明事A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4
分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差Dξ=P(1-P)后,我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数,这里可用配方法,也可用重要不等式证明结论
证明:因为ξ所有可能取的值为0,1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,
所以,Eξ=0×(1-p)+1×p=p
则 Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
5. 有A、B两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:
ξA110120125130135ξB100115125130145
P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2
其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好
分析: 两个随机变量ξA和ξ B&都以相同的概率0.1,0.2,0.4,0.1,0.2取5个不同的数值.ξA取较为集中的数值110,12 0,125, 130,135;ξB取较为分散的数值100,115,125,130,145.直观上看,猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确,需要通过计算证明我们猜想的正确性
解:先比较ξA与ξB的期望值,因为
EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,
EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以,它们的期望相同.再比较它们的方差.因为
DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50,
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.
所以,DξA < DξB.因此,A种钢筋质量较好
6. 在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元?
分析:这是同学们身边常遇到的现实问题,比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般说,出台各种彩票,政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指:所收资金全部用于奖品方面的费用
解:设一张彩票中奖额为随机变量ξ,显然ξ所有可能取的值为0,5,25,100 依题
意,可得ξ的分布列为
ξ0525100
P


答:一张彩票的合理价格是0.2元.
五、小结 :⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ;④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ,在 和 相等或很接近时,比较 和
,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要
六、后作业: P69练习1,2,3 P69 A组4 B组1,2
1.设 ~B(n、p)且E =12 D =4,求n、p
解:由二次分布的期 望与方差性质可知E =np D = np(1-p)
∴ ∴
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、 )求b (2;6, )
解:p( =2)=c62( )2( )4
3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ,已知 和 的分布列如下:(注得分越大,水平越高)


123
pA 0.10.6

123
p0.3 b0.3


试分析甲、乙技术状况
解:由0.1+0.6+a+1 a=0.3
0.3+0.3+b=1 a=0.4
∴E =2.3 , E =2.0
D =0.81 , D =0.6
七、板书设计(略)
八、教学反思:
⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤:
①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;
②求ξ取各个值的概率,写出分布列;
③根据分布列,由期望的定义求出Eξ;
④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.
⑵对于两个随机变量 和 ,在 和 相等或很接近时,比较 和 ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要




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