不等式的证明
班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿

一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
１．若a>0, b >0,则 的最小值是（ ）
A．2B． C． D．4
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的（ ）
A．必要条件B．充分条件
C．充要条件D．必要或充分条件
3．设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a、b均大于1，且logaC•logbC=4，则下列各式中，一定正确的是（ ）
A．ac≥bB．ab≥cC．bc≥aD．ab≤c
5．设a= ，b= ， ，则a、b、c间的大小关系是（ ）
A．a>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．a>c>b
6．已知a、b、为正实数，则不等式 （ ）
A．当a< b时成立B．当a> b时成立
C．是否成立与无关D．一定成立
7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是（ ）
A．P≥QB．P≤QC．P>QD． P<Q
8．已知a> b且a+ b <0，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，则P、Q的大小关系是 （ ）
A．P≥QB．P≤QC．P=QD．不能确定
10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度n行走，若≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（ ）
A．甲先到B．乙先到C．甲乙同时到D．不能确定
题号12345678910
答案
二、题
11．若实数 满足 ，则 的最小值为
12．函数 的最小值为_____________。
13．使不等式a2>b 2， ，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 ．
14．建造一个容积为83，深为2的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元．
三、解答题
15．（1）若a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
求证： (1?a)(1?b)(1?c)≥8abc．
（2）已知实数 满足 ，且有
求证：

16．设 的大小．（12分）

17．(1)求证：
(2)已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：

18．(1)已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd．
(2) 已知 ，且
求证：

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840c2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8c空白，左、右各留5c空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

20．数列{xn}由下列条件确定： ．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥ ；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥ ．

参考答案
一．（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号12345678910
答案DBBBDAACAA
二．题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13．a>b>1 14．1760
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）
[证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1，
所以(1?a)(1?b)(1?c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2 •2 •2 =8abc．
16．（12分）
[解析 ]：
（当且仅当t=1时时等号成立）
（1） 当t=1时， （2） 当 时， ，
若
若
17．（12分）
[证明]：左－右=2（ab+bc－ac） ∵a，b，c成等比数列，
又∵a，b，c都是正数，所以 ≤ ∴
∴
∴
18．（12分）
[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd
只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy≥ac + bd
[证法二]：（综合法）xy =
≥
[证法三]：（三角代换法）
∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy
19．（14分）
[解析]：设画面高为x c，宽为 x c 则 x2=4840．
设纸张面积为S，有 S=（x +16）( x +10) = x 2+(16 +10) x +160,
S=5000+44
当8
此时，高： 宽：
答：画面高为88c，宽为55c时，能使所用纸张面积最小．
20．（14分）
（I）证明：由 及 可归纳证明 （没有证明过程不扣分）
从而有 所以，当 成立.
（II）证法一：当
所以 故当
证法二：当
所以 故当 .
2．证明：

即
4．证明：
是方程 的两个不等实根，
则 ，得
而
即 ，得
所以 ，即
5．证明：显然
是方程 的两个实根，
由 得 ，同理可得 ，

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