选修4-5不等式的证明测试题及答案

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网



不等式的证明
班级 _____ 姓名_____

一、(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.若a>0, b >0,则 的最小值是( )
A.2B. C. D.4
2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )
A.必要条件B.充分条件
C.充要条件D.必要或充分条件
3.设a、b为正数,且a+ b≤4,则下列各式中正确的一个是( )
A. B. C. D.
4.已知a、b均大于1,且logaC•logbC=4,则下列各式中,一定正确的是( )
A.ac≥bB.ab≥cC.bc≥aD.ab≤c
5.设a= ,b= , ,则a、b、c间的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b
6.已知a、b、为正实数,则不等式 ( )
A.当a< b时成立B.当a> b时成立
C.是否成立与无关D.一定成立
7.设x为实数,P=ex+e-x,Q=(sinx+cosx)2,则P、Q之间的大小关系是( )
A.P≥QB.P≤QC.P>QD. P<Q
8.已知a> b且a+ b <0,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
9.设a、b为正实数,P=aabb,Q=abba,则P、Q的大小关系是 ( )
A.P≥QB.P≤QC.P=QD.不能确定
10.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度行走,另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度n行走,若≠n,则甲、乙两人到达指定地点的情况是( )
A.甲先到B.乙先到C.甲乙同时到D.不能确定
题号12345678910
答案
二、题
11.若实数 满足 ,则 的最小值为
12.函数 的最小值为_____________。
13.使不等式a2>b 2, ,lg(a-b)>0, 2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 .
14.建造一个容积为83,深为2的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为 元.
三、解答题
15.(1)若a、b、c都是正数,且a+b+c=1,
求证: (1?a)(1?b)(1?c)≥8abc.
(2)已知实数 满足 ,且有
求证:

16.设 的大小.(12分)

17.(1)求证:
(2)已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:

18.(1)已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd.
(2) 已知 ,且
求证:

19.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840c2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上下各留8c空白,左、右各留5c空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?


20.数列{xn}由下列条件确定: .
(Ⅰ)证明:对n≥2,总有xn≥ ;
(Ⅱ)证明:对n≥2,总有xn≥ .


参考答案
一.(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号12345678910
答案DBBBDAACAA
二.题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
11. 12. 13.a>b>1 14.1760
三、解答题(本大题共6题,共76分)
15.(12分)
[证明]:因为a、b、c都是正数,且a+b+c=1,
所以(1?a)(1?b)(1?c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2 •2 •2 =8abc.
16.(12分)
[解析 ]:
(当且仅当t=1时时等号成立)
(1) 当t=1时, (2) 当 时, ,


17.(12分)
[证明]:左-右=2(ab+bc-ac) ∵a,b,c成等比数列,
又∵a,b,c都是正数,所以 ≤ ∴


18.(12分)
[证法一]:(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证:xy≥ac + bd
只需证:(xy)2≥(ac + bd)2 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立
∴xy≥ac + bd
[证法二]:(综合法)xy =

[证法三]:(三角代换法)
∵x2 = a2 + b2,∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos(  )≤xy
19.(14分)
[解析]:设画面高为x c,宽为 x c 则 x2=4840.
设纸张面积为S,有 S=(x +16)( x +10) = x 2+(16 +10) x +160,
S=5000+44
当8
此时,高: 宽:
答:画面高为88c,宽为55c时,能使所用纸张面积最小.
20.(14分)
(I)证明:由 及 可归纳证明 (没有证明过程不扣分)
从而有 所以,当 成立.
(II)证法一:当
所以 故当
证法二:当
所以 故当 .
2.证明:


4.证明:
是方程 的两个不等实根,
则 ,得

即 ,得
所以 ,即
5.证明:显然
是方程 的两个实根,
由 得 ,同理可得 ,





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