高二数学（理科）月考测试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1、复数 对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
2、 且 ,则乘积 等于 ( )
A． B． C． D．
3、有五条线段长度分别为 ，从这 条线段中任取 条，则所取 条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
4、已知 ，则 等于（ ）
A B) —1 C 2 D 1
5、在长为12c的线段 上任取一点 ，并以线段 为边作正方形，则这个正方形的面积介于 与 之间的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ）
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
7、设 为曲线 : 上的点且曲线C在点 处的切线的倾斜角的取值范围为 ，则点 的横坐标的取值范围( )
A B C D
8、若 为 的各位数字之和，如 则 ,记 则 （ ）
A 3 B 5 C 8 D 11

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为 ，响第二声时被接的概率为 ，响第三声时被接的概率为 ，响第四声时被接的概率为 ，则电话在响前四声内被接的概率为 。
10、已知 ，则 = (最后结果)。
11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4
个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种。
12关于二项式 ，有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为 ；③该二 项展开式中系数最大的项为第1002项；④当 时， 除以 的余数是 。其中所有正确命题的序号是 。
13、直线 与曲线 围成图形的面积为 ，则 的值为 。
14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质： 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出字说明、证明过程和演算步骤．
15、（本题满分12分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 ， … 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在 内的频率，并补全
这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为
的学生中抽取一个容量为 的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取 人，
求至多有 人在分数段 的概率.

16、（本题满分13分）
从4名男生,3名女生中选出三名代表,(1)不同的选法共有多少种?(2)至少有一名女生的
不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?

17、（本题满分13分）
已知数列 满足 , ,
（Ⅰ）计算出 、 、 ;
（Ⅱ）猜想数列 通项公式 ,并用数学归纳法进行证明.

18、（本题满分14分）
设关于 的一元二次方程
（1）若 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数， 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
（2）若 是从区间 任取的一个数， 是从区间 任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.

19、（本题满分14分）
已知函数 在 取得极值。
（Ⅰ）确定 的值并求函数的单调区间;
（Ⅱ）若关于 的方程 至多有两个零点，求实数 的取值范围。

20．（本题满分14分）
,函数
（Ⅰ）若 在区间 上是增函数，求 的取值范围;
（Ⅱ）求 在区间 上最大值。

测试题答案
一、选择题：
题号12345678
选项CBBDABAB
, -8128 , 24, ○1,○4, 2 , 在直角三棱锥中，斜面的“中面”的面积等于斜面面积的

15、解：（Ⅰ）分数在 内的频率为：

，故 ，
如图所示： -----------------------6分
（求频率3分，作图3分）

（Ⅱ）由题意， 分数段的人数为： 人；
分数段的人数为： 人；----------------8分 ∵在 的学生中抽取一个容量为 的样本，∴ 分数段抽取2人，分别记为 ； 分数段抽取4人，分别记为 ；设从样本中任取 人，至多有1人在分数段 为事件 ，则基本事件空间包含的基本事件有： 、 、 、 、 、……、 共15种，
则事件 包含的基本事件有：
、 、 、 、 、 、 、 、 共9种，
∴ ． ---1216、解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法 种；---------------------4分
（2）至少有一名女生的不同选法共有 种； ---------------------9分
（3）男、女生都要有的不同的选法共有 种。 ---------------------13分

17、解：（Ⅰ） , ,
-------------------------3分；
（Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列
∴猜想数列 通项公式： ---------------------5分
用数学归纳法证明如下：
①当 时，由题意可知 ，命题成立.------6分
②假设当 时命题成立， 即 ，----7分
那么，当 时，
也就说，当 时命题也成立----------------------------------------------12分
综上所述，数列 的通项公式为 ---------------------------13分
18、解：设事件 为“方程 有实数根”.
当 时，因为方程 有实数根，
则 ----------------2分（1）基本事件共12个，如下：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一个数表示 的取值，第二个数表示 的取值， ---------------6分事件 包含9个基本事件，事件 发生的概率为 ----------------8分（2）实验的全部结果所构成的区域为 ，
构成事件 的区域为 ----------------12分所以所求的概率为： ----------------14分19、解（Ⅰ）因为 ，
所以 ---------------------------------2分
因为函数 在 时有极值 ， 所以 ，即
得 ---------------------------------------3 分
所以 所以
令， 得， 或 ----------4分
当 变化时 ， 变化如下表：

单调递增?极大值单调递减?极小值单调递增?

所以 的单调增区间为 ， ；
的单调减区间为 。------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 有极大值，并且极大值为
当 时， 有极小值，并且极小值为 ---------------10分
结合函数 的图象，要使关于 的方程 至多有两个零点，
则 的取值范围为 。------------------------------------14分
20、解：(Ⅰ) 由 ∴ ----------------2分
要使 在区间 上是增函数， 当且仅当 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 --------------------------------------------------------------------------4分
在 上单调递减。 在 上的最小值是
的取值范围是 ----------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由(Ⅰ) 知，当 时， 在区间 上是增函数，
此时， 在区间 上的最大值是 -------------------8分
当 时，令 ；解得，
时， ， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；---------12分
此时， 在 上最大值是 。----------------13分
综上所述：当 时， 在区间 上的最大值是 ；
当 时， 在区间 上的最大值是 。------14分

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