学案1 集合的概念与运算
一、前准备：
【自主梳理】
1．侧面积公式： ， ， ， ， ， ．
2．体积公式： = ， ， ， ．
3．球 ： ， ．
4．简单的组合体：
⑴正方体和球 正方体的边长为 ，则其外接球的半径为 ．
正方体的边长为 ，则其内切球的半径为 ．
⑵正四面体和球 正四面的边长为 ，则其外接球的半径为 ．
【自我检测】
1．若一个球的体积为 ，则它的表面积为_______．
2．已知圆锥的母线长为2，高为 ，则该圆锥的侧面积是 ．
3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为 ，则圆锥的体积为 ．
4．在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直， ，则四面体 的外接球半径 _____________________．
5．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ．
6．如图，已知正三棱柱 的底面边长为2 ，高位5 ，一质点自 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 ．
二、堂活动：
【例1】题：
（1）一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm 和25π cm ，则(1)圆台的高
为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为 ．
（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是　 　 .
（3）三棱柱的一个侧面面积为 ，此侧面所对的棱与此面的距离为 ，则此棱柱的体积为 ．
（4）已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x+y=4，则已知三棱锥O－ABC体积的最大值是 ．
【例2】如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）求证： ；
（3）求三棱锥 的体积．

【例3】如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA=AD=2，BD= 。
（1）求棱锥P-ABCD的体积；
（2）求点C到平面PBD的距离．

堂小结
（1）了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；
（2）了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；
（3）几何体表面的最短距离问题------侧面展开.

三、后作业
1．一个球的外切正方体的全面积等于 ，则此球的体积为 .
2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
3．三个平面两两垂直，三条交线相交于 ， 到三个平面的距离分别为1、2、3，
则 = .
4．圆锥的全面积为 ，侧面展开图的中心角为60°，则该圆锥的体积为 .
5．如图，三棱柱 的所有棱长均等于1，且 ，则该三棱柱的体积是 ．
6．如图，已知三棱锥A—BCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且∠BAC＝30°，、N分别在棱AC和AD上，则 B＋N＋NB的最小值为 ．
7．如图，在多面体 中，已知 是边长为1的正方形，且 均为正三角形， ∥ ， =2，则该多面体的体积为 ．
8．已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，则高为 ．
9．如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 是 的中点，求三棱锥 的体积．

10．如图，矩形 中， ⊥平面 ， ， 为 上的一点，且 ⊥平面 ， ，求三棱锥 的体积．

四、纠错分析
错题卡题 号错 题 原 因 分 析

一、前准备：
【自主梳理】
1．
2．
3． 4
4．
【自我检测】
1．12 2．2 3． 4． 5．6π 6．13
二、堂活动：
【例1】题
1．（1） 20 （2）3 （3） （4）
【例2】（Ⅰ）连结 ，在 中， 、 分别为 ， 的中点，则

（Ⅱ）

（Ⅲ） ， ，且 ，
， .
，
∴ ，即 . =
= .
【例3】解：（1）由 知四边形ABCD为边长是2的正方形，
,又PA 平面ABCD ， = .
（2）设点C到平面PBD的距离为 ，
PA 平面ABCD， = .
由条 ， .
由 .得 .
点C到平面PBD的距离为 .
三、后作业
1． 2．3：2 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9．（1）证明： ，且 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：在直角梯形 中，过 作 于点 ，则四边形 为矩形.
∴ .又 ，∴ .在Rt△ 中， ，
∴ ， . ∴ .
则 ， ∴ .
又 ， ∴ .
， ∴ 平面 .
（3）∵ 是 中点， ∴ 到面 的距离是 到面 距离的一半.
.
10．解：连结 ．可证三棱锥 中， 与底面 垂直，所以所求
体积为 ．

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