1.3二项式定理
一、:本大题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在 的展开式中, 的系数为( )
A. B. C. D.
2. 已知 , 的展开式按a的降幂排列,其中第n 项与第n+1项相等,那么正整数n等于( )
A.4 B.9 C.10 D.11
3.已知( 的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
4.5310被8除的余数是( )
A.1B.2C.3D.7
5. (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是( )
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
6.二项式 (n N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D .4
7.设(3x +x ) 展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=2 72,则展开式的x 项的系数是( )
A. B.1 C.2 D.3
8.在 的展开式中 的系数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9. 展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是
( )
A.330 B.462 C.680 D.790
10. 的展开式中, 的系数为( )
A.-40 B.10 C.40 D.45
11.二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为 ,则x在[0,2π]内的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
12.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n-5的( )
A.第2项 B.第11项 C.第20项 D.第24项
二、题:本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.
13. 展开式中 的系数是 .
14.若 ,则 的值为__________.
15.若 的展开式中只有第6项的系数最大,则展开式中的常数项是 .
16.对于二项式(1-x) ,有下列四个命题:
①展开式中T = -C x ;
②展开式中非常数项的系数和是1;
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;
④当x=2000时,(1-x) 除以2000的余数是1.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题:本大题满分74分.
17.(12分)若 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)此展开式中是否有常数项,为什么?
18. (12分)已知( )n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系 数.
19.(12分)是否存在等差数列 ,使 对任意 都成立?若存在,求出数列 的通项公式;若不存在,请说明理由.
20.(12分)某地现有耕地100000亩,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少亩(精确到1亩)?
21. (12分)设f(x)=(1+x)+(1+x)n(、n ),若其展开式中,关于x的一次项系数为11,试问:、n取何值时,f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值,并求出这个最小值.
22.(14分)规定 ,其中x∈R,是正整数,且 ,这是组合数 (n、是正整数,且≤n)的一种推广.
(1) 求 的值;
(2) 设x>0,当x为何值时, 取得最小值?
(3) 组合数的两个性质;
① . ② .
是否都能推广到 (x∈R,是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
参考答案
一、
1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C
3.解: , .
5 .解:(1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+… 1.34.
6.解: ,r=0,1,…,8. 设 ,得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).
7.解:由 得 ,n=4, , 取r=4.
8.解:设 = 的展开式的通项为 则 (r=0,1,2,…,6). 二项式 展开式的通项为
(n=0,1,2,…,r)
的展开式的通项公式为
令r+n=5,则n=5-r r=3,4,5,n=2,1,0.
展开式中含 项的系数为:
9.解:显然奇数项之和是所有项系数之 和的一半,令x =1 即得所有项系数之和, 各项的系数为二项式系数,故系统最大值为 或 ,为462.
10.解: =
= =
的系数为
二、题
13. ; 14.1; 15. =210; 1 6.①④.
三、解答题
17.解:(1)n = 7 (6分)(2)无常数项(6分)
18.解:由 (3 分)得 (5分),得 .(8分) ,该项的系数最大,为 .(12分)
19.解:假设存在等差数列 满足要求(2分) (4分)= (8分)
依题意 , 对 恒成立,(10分) , 所求的等差数列存在,其通项公式为 .(12分)
20.解:设耕地平均每年减少x亩,现有人口为p人,粮食单产为吨/亩,(2分)依题意
(6分)
化简: (8分)
(10分)
(亩)
答:耕地平均每年至多只能减少4亩.(12分)
21.解:展开式中,关于x的一次项系数为 (3分)关于x的二次项系数为 ,(8分)当n=5或6时,含x2项的系数取最小值25,此时=6,n=5或 =5,n=6. (12分)
22.解:(1) . (4分)
(2) . (6分) ∵ x > 0 , .
当且仅当 时,等号成立. ∴ 当 时, 取得最小值. (8分)
(3)性质①不能推广,例如当 时, 有定义,但 无意义; (10分)
性质②能推广,它的推广形 式是 ,xR , 是正整数. (12分)
事实上,当=1时,有 .
当≥2时.
.(14分)
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