赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2015~2014学年度第一学期期末联考试卷高二数学试题(理科) 2015年元月一、选择题(每小题5分，共50分。)1、观察下列数的特点，1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55, …中，其中x是A．12B．13C．14D．152、设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“(p”、“(q”、“p∧q”、“p∨q”为假命题的个数为A．0B．1C．2D．33、向量＝(2, 4, x), ＝(2, y, 2)，若＝6, 且⊥，则x＋y的值为A．－3B．1C．－3或1D．3或14、过抛物线y＝x2上的点M(,)的切线的倾斜角是A．30° B．45°C．60°D．90°5、如图所示，程序框图输出的所有实数对(x, y)所对应的点都在函数A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x－1的图象上6、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于A．1:2B．2:1C．1:1D．1:47、设A, B两点的坐标分别为(－1, 0), (1, 0)，条件甲：?＞0；条件乙：点C的坐标是方程的解，则甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8、一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为A．πa2B．15πa2C．πa2D．πa2 9、已知直线l1: 4x－3y＋6＝0和直线l2: x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3C．D．10、P是双曲线右支上的一点，M, N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为A．6B．7C．8D．9二、填空题（每小题5分，共25分）11、某学校共有师生2400人，现用分层抽样方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是。12、若命题“(x∈R, x2＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为。13、双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点(1, 2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为。14、如图，在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在△ACB内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为。15、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1。其中真命题的编号是。三、解答题（共75分）16、(12分)设集合A＝(?∞, ?2]∪[3, ＋∞)，关于x的不等式(x－2a)?(x＋a)＞0的解集为B（其中a＜0).（1）求集合B；（2）设p: x∈A, q: x∈B，且(p是(q的充分不必要条件，求a的取值范围。17、(12分)已知函数y＝x－1，令x＝?4, ?3, ?2, －1, 0, 1, 2, 3, 4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，（1）求P1, P2两点在双曲线xy＝6上的概率；（2）求P1, P2两点不在同一双曲线xy＝k(k≠0)上的概率。18、(12分)是否存在常数a, b使等式对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a, b的值，若不存在，请说明理由。19、(12分)如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA中点。（1）求证：直线BD⊥平面OAC；（2）求直线MD与平面OAC所成角的大小；（3）求点A到平面OBD的距离。20、(13分)如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且?＝0.（1）求椭圆的方程；（2）求MN的最小值；（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。21、(14分)已知定点A(－2, 0)和B(2, 0)，曲线E上任一点P满足PA－PB＝2.（1）求曲线E的方程；（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求PQ的最小值；（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2015~2015学年度第一学期期末联考试卷高二年级数学(科)参考答案及评分标准2015-1二、填空题) 14、15、①③④三、解答题本大题共6小题共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。p：x＝∈(－2，3)，q∈[2a，?a] ………………………6分依题意有：(－2，3) [2a，?a] ………………………8分故： 解得a≤－3 ………………………12分17、解：（1）函数图象上的九个点分别是：(?4，?5)，(?3，?4)，(?2，?3)，(?1，?2)，(0，?1)，(1，0)，(2，1)，(3，2)，(4，3) ……………………2分从九个点中选2个点共有36种，其中在双曲线xy＝6上 ……………………4分设有：(?2，?3)，(3，2)，故：P1＝ ……………………6分（2）P1，P2在同一双曲线xy＝k(k≠0)的有(?3，?4)和(4，3)；(?2，?3)和(3，2)；(?1，?2)和(2，1) …………………………9分故：P2＝1－＝ ……………………12分18、解：若存在常数a，b使得等式成立，将n＝1，n＝2代入等式有：即有： …………………………4分对于n为所有正整数是否成立，再用数学归纳法证明证明：（1）当n＝1时，等式成立。 …………………………5分（2）假设n＝k时等式成立，即 …………………………7分当n＝k＋1时，即 ……………………11分也就是说n＝k＋1时，等式成立，由（1）（2）可知等式对于任意的n∈N*都成立。 ………………………12分19、解：方法一：以A为原点，AB，AD，AO分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A－xyz。（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)∴＝0，＝－1＋1＝0∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A故BD⊥平面OAC …………………………4分（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)则：∴＝60(故：MD与平面OAC所成角为30( …………………………8分（3）设平面OBD的法向量为＝(x，y，z)，则取＝(2，2，1)则点A到平面OBD的距离为d＝ …………………………12分方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。∵底面ABCD是边长为1的正方形∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC …………………………4分（2）设AC与BD交于点E，连结EM，则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角∵MD＝，DE＝∴直线MD与平面OAC折成的角为30( …………………………8分（3）作AH⊥OE于点H。∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。∴AH＝∴点A到平面OBD的距离为 …………………………12分20、解：（1）∵e＝，且过点P（1，）∴ 解得：a＝2，b＝ …………………………3分∴椭圆方程为＝1 …………………………4分（2）设点M（4，y1），N（4，y2），则＝（5，y1），＝（3，y2），则＝15＋y1?y2＝0，∴y1?y2＝－15 …………………………6分又∵MN＝y2－y1＝??y1＝＋y1≥2∴MN的最小值为2。(y1＝±等号成立) …………………………8分（3）圆心C的坐标为（4，），半径r＝，圆C的施方程为：(x－4)2＋(y－)2＝ …………………………10分整理得x2＋y2?8x?(y1＋y2)y＋16＋y1?y2＝0∵y1?y2＝－15 ∴x2＋y2?8x?(y1＋y2)y＋1＝0 ……………………………12分令y＝0，得x2－8x＋1＝0，∴x＝4±，∴圆C过定点（4，±，0）……………………………13分21、解：（1）由双曲线的定义得：曲线E是以A，B为焦点的双曲线的右支，所以曲线E的方程为：x2－＝1(x＞0) ……………………………2分（2）若直线PQ不垂直于x轴，设直线PQ的方程为：y＝k(x－2)由，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 ……………………………3分设p(x1，y1)，Q(x2，y2)，这里x1＞0，x2＞0则： 得：k2＞3…………………………6分PQ＝x1－x2＝＝6＋＞6 …………………………6分若直线PQ垂直于x轴，则直线PQ的方程为x＝2。 ……………………………8分这时P(2，3)，Q(2，－3)，所以PQ＝6，综上：PQmin＝6 ……………………………9分（3）据题意得：CR＝PQ。若直线PQ不垂直于x轴，由CR＝－a＝－a …………………………10分∴－a＝?，a＝＝－1＋＜－1 …………………12分若直线PQ垂直于x轴，这时PQ＝6，CR＝2－a ∴a＝－1。 ……………………………13分综上a≤－1。 ……………………………14分江西省赣州市四所重点中学2015-2016学年高二上学期期末联考数学（理）试题 Word版含答案
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