倍角公式

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网



第二十四教时
教材:倍角公式,推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的:继续复习巩固倍角公式,加强对公式灵活运用的训练;同时,让学生推导出和差化积和积化和差公式,并对此有所了解。
过程:
一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程:
例一、已知 , ,tan = ,tan = ,求2 + 

解: ∴
又∵tan2 < 0,tan < 0 ∴ ,
∴ ∴2 +  =
例二、已知sin  cos = , ,求 和tan的值
解:∵sin  cos = ∴
化简得: ∴
∵ ∴ ∴ 即

二、积化和差公式的推导


sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos = [sin( + ) + sin(  )]
sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin = [sin( + )  sin(  )]
cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos = [cos( + ) + cos(  )]
cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin =  [cos( + )  cos(  )]
这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点在于将“积式”化为“和差”,有利于简化计算。(在告知公式前提下)
例三、求证:sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证:左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2
=  (cos4  cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2
=  cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2
= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)
= cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、和差化积公式的推导
若令 +  = ,   = φ,则 , 代入得:





这套公式称为和差化积公式,其特点是同名的正(余)弦才能使用,它与积化和差公式相辅相成,配合使用。
例四、已知cos  cos  = ,sin  sin = ,求sin( + )的值
解:∵cos  cos  = ,∴ ①
sin  sin  = ,∴ ②
∵ ∴ ∴

四、小结:和差化积,积化和差
五、作业: P40 1—3





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