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2012年广州市高二数学学业水平测试模拟（75中提供）
本试卷共4页，共20小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、：本大题共10小题，每题5分，共50分．每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知U = { 2，3，4，5，6，7 }， = { 3，4，5，7 }，N = { 2，4，5，6 }，则
A．∩N = { 4，6 }B．∪N = UC．(Cu N )∪ =UD．(Cu )∩N = N
2．已知向量 ，向量 ，且 ，则实数 等于
A． B． C． D．
3．如图，样本数为 的四组数据，它们的平均数都是 ，频率条形图如下，则标准差最大的一组是

4．已知等差数列 的前13项之和为 ，则 等于
． 　　　　　 ． 　　　　　 ．　 　　　　 ．
5．已知函数 ，给出下列四个命题：
①若 ，则 　② 的最小正周期是 　　
③在区间 上是增函数 　　 ④ 的图象关于直线 对称
其中真命题是
．①②④　　　　　 ．①③　　　　　 ．②③　　　　 ．③④
6．若过点A (3 , 0 ) 的直线l与曲线 有公共点，则直线l斜率的取值范围为
A．( , ) B．[ , ] C．( , ) D．[ , ]
7．已知函数 的零点依次为 ，则
A. B. C. D.
8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
9．函数 的图象大致是 　　　　　 ．　　　　　　　 ．
10．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　）
A、 　　B、1－ 　　C、1－ 　　D、1－

二、题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
11．已知函数 满足， ，则 = .
12．记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则 等于_________.

13．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区5月份至7月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三个月本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为＿＿＿＿万只．

14．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y )
值依次记为(x1 , y1 )，(x2 , y2 )，……(x n , y n )，……
(1) 若程序运行中输出的一个数组是( , t)，则
t = ；
(2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分12分）
已知函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ) 求函数 的解析式；
(Ⅱ) 如何由函数 的图象通过适当的变换得到函数 的图象, 写出变换过程.

16.（本小题满分12分）
有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
（Ⅰ）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？

17．（本小题满分14分）
如图，平行四边形 中， ， ，且 ，正方形 和平面 成直二面角， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．

18．（本小题满分14分）
某自水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水， 小时内供水总量为 吨，（ ）.
（Ⅰ）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨?
（Ⅱ）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象.

19．（本小题满分14分）
已知平面区域 恰好被面积最小的圆 及其内部所覆盖．
（1）试求圆 的方程．
（2）若斜率为1的直线 与圆C交于不同两点 满足 ,求直线 的方程．

20．（本小题满分14分）
已知二次函数 同时满足：①不等式 ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 ，使得不等式 成立,设数列｛ ｝的前 项和 .
（Ⅰ）求函数 的表达式；
（Ⅱ）求数列｛ ｝的通项公式；
（Ⅲ）设各项均不为0的数列｛ ｝中，所有满足 的整数 的个数称为这个数列｛ ｝的变号数，令 （ ）,求数列｛ ｝的变号数.

高二数学学业水平测试模拟参考答案及评分意见
一、（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. B 2. B 3. Ｄ 4. B 5. Ｄ 6. D 7. A 8. 9. Ｂ 10. D
二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 12. 33 13. 90 14. ， 1005
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15.（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由图象知
的最小正周期 ,故 ……3分
将点 代入 的解析式得 ,又 ,
∴
故函数 的解析式为 ……6分
（Ⅱ）变换过程如下:


另解:

……12分
以上每一个变换过程均为3分.
16.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）用 （ 表示甲摸到的数字， 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共16个；
------------------------------------------------------3分
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 ，共有6个；则 ------------------------------5分
------------------------------6分
（Ⅱ）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有： 、 、 、 ，共有4个；则 -------------------------8分
----------------------10分
，所以这样规定不公平. -----------------11分
答：（Ⅰ）甲获胜的概率为 ;（Ⅱ）这样规定不公平. -----------------------12分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：平面 平面 ，交线为

∴ ----------2分
∴
又
∴ --------4分
（Ⅱ）证明：连结 ，则 是 的中点
∴ 中， ---------------6分
又
∴
∴ 平面 -------------8分
（Ⅲ）解：设 中 边上的高为
依题意：
∴
即：点 到平面 的距离为 ---------------10分
∴ -----------------14分
18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设 小时后蓄水池中的水量为 吨，
则 ；…………………………………3分
令 ＝ ；则 且 ，
∴ ；………………5分
∴当 ，即 时， ，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨. …………………8分
（Ⅱ）依题意 ，得 ，……………11分
解得 ，即 ， ；
即由 ，所以每天约有8小时供水紧张. ………………………14分
19.（本小题满分14分）
解:（1）由题意知此平面区域表示的是以 构成的三角形及其内部,且△ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是（2,1）,半径是 ,所以圆 的方程是 ．……………………………………（7分）
（2）设直线 的方程是: ．因为 ,所以圆心 到直线 的距离是 ,
即 解得: ．……………………………………（10分）
所以直线 的方程是: ．　……………………………………（14分）
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵不等式 ≤0的解集有且只有一个元素
∴ 　解得 或 ------------------------2分
当 时，函数 在 递增，不满足条件②
当 时，函数 在（０，２）上递减，满足条件②
综上得 ，即 ---------------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当 时，
当 ≥２时 ＝ ＝
∴ --------------------------------------------9分
（Ⅲ）由题设可得 ----------------------------11分
∵ ， ，∴ ， 都满足
∵当 ≥３时，
即当 ≥３时，数列｛ ｝递增，
∵ ，由 ，可知 满足
∴数列｛ ｝的变号数为３.----------------------------------------14分
如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

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