2012年高二上册数学第二次月考试卷(含答案)

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高二年级第二次月考数学试卷
一、(共12题,每题5分,共60分)
1.下列语句中是命题的是( B )
A.周期函数的和是周期函数吗? B.
C. D.梯形是不是平面图形呢?
2.设原命题:若 ,则 中至少有一个不小于 ,则原命题与其逆命题的真假情况是( A )
A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题
3.有下述说法:① 是 的充要条件. ② 是 的充要条件.
③ 是 的充要条件.则其中正确的说法有( A )
A. 个B. 个C. 个D. 个
4.一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是( B )
A. B. C. D.
5.方程 表示的曲线是(D)
A.一条直线 B.一个正方形 C.一个圆 D.四条直线
6.已知点 ,动点 满足 ,则点 的轨迹方程是(C)
A. B.
C. D.
7.椭圆 的焦点坐标为(A)
(A)(0, ±3) (B)(±3, 0) (C)(0, ±5) (D)(±4, 0)
8.已知F1, F2是定点, F1 F2=8, 动点满足 F1+ F2=8,则点的轨迹是(D)
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
9.过点(3, -2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是(C)
(A) (B) (C) (D)
10.已知P为椭圆 上一点,P到一条准线的距离为P到相应焦点的距离之比为(C)
(A) (B) (C) (D)
11.椭圆 上一点P到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是(B)
(A) (B) (C) (D)随P点位置不同而有变化
12.如图,已知椭圆中心在原点,F是焦点,A为顶点,准线l交x轴于点B,点P, Q在椭圆上,且PD⊥l于D,QF⊥AO, 则椭圆的离心率是① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中正确的个数是 (D)
(A)1个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
二、题(共4题,每题5分,共20分)
13.已知方程 的曲线经过点 ,那么 的值为 。
14、.已知A(4, 2.4)为椭圆 上一点,则点A到该椭圆的左焦点的距离是_____13/5_________.
15、P为椭圆 上的一点,F1和F2是其焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 _________ .
16、有下列四个命题:
①、命题“若 ,则 , 互为倒数”的逆命题;
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③、命题“若 ,则 有实根”的逆否命题;
④、命题“若 ,则 ”的逆否命题。
其中是真命题的是 ①,②,③ (填上你认为正确的命题的序号)。
三、解答题(共六题,共70分)
17、(12分)已知 ; 若 是 的必要非充分条件,求实数 的取值范围。


是 的必要非充分条件, ,即 。
18、(12分)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 求椭圆的标准方程
由 解得a=5,又椭圆焦点在y轴上,∴椭圆方程为x216 + y225 = 1 .
19、(12分)求过点P(3, 0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程。

20、(12分)设椭圆C: 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o, .
(I)求椭圆C的离心率;
(II)如果AB= ,求椭圆C的方程.
解:
设 ,由题意知 <0, >0.
(Ⅰ)直线l的方程为 ,其中 .
联立 得
解得
因为 ,所以 .

得离心率 . ……6分
(Ⅱ)因为 ,所以 .
由 得 .所以 ,得a=3, .
椭圆C的方程为 .

21、(12分)已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求:
1) 方程有两个正根的充要条件;
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解:1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是:
即: 
即: a≥10或a≤2且a1w
设此时方程两根为x1,x2 ∴有两正根的充要条件是:
  1<a≤2或a≥10 即为所求。
2) 从1)知1<a≤2或a≥10方程有两个正根
当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
方程有一正、一负根的充要条件是:
  a<1
综上:方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。

22、(12分)设F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,32)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)若、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线P、PN的斜率都存在,并记为kP、kPN时.
求证:kP•kPN是与点P位置无关的定值.
解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.
又点A1,32在椭圆上,
因此122+322b2=1得b2=3,
于是c2=1.
所以椭圆C的方程为x24+y23=1,
焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:
x=-1+x12,y=y12,
即x1=2x+1,y1=2y.因此(2x+1)24+(2y)23=1.
即x+122+4y23=1为所求的轨迹方程.
(3)设点(,n)是椭圆x2a2+y2b2=1①
上的任一点,N(-,-n)是关于原点的中心对称点,则2a2+n2b2=1②
又设P(x,y)是椭圆上任一点,且kP•kPN存在.
则kP=y-nx-,kPN=y+nx+,
∴kP•kPN=y-nx-•y+nx+=y2-n2x2-2.
①-②得x2-2a2+y2-n2b2=0,y2-n2x2-2=-b2a2,
∴kP•kPN=-b2a2.
故kP•kPN与P的取值无关.




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