中山市高二级2015—2014学年度第一学期期末统一考试第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“且”是“”的（ ）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．焦点在x轴上的双曲线，实轴长6，焦距长10，则双曲线的标准方程是（ ）.A．B． C． D． 3．曲线在点处的切线倾斜角为（ ）.A．B．C．D．4．如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（　　）.5．海上有两个小岛相距，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离=（ ）． A．10B．C．20D．6．已知且成等比数列，则有（ ）.A．最大值B．最大值C．最小值 D．最小值7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（　　）.A．4 kmB．5 kmC．6 kmD．7 km8．方程与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.A B C D9．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则到F2 的距离为（ ）.A．B．C．D．410．某同学对教材《选修1-1》上所研究函数的性质进行变式研究，并结合TINspire图形计算器作图进行直观验证（如右图所示），根据你所学的知识，指出下列错误的结论是（ ）.A．的极大值为B．的极小值为C. 的单调递减区间为D. 在区间上的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）11．在等差数列中，若，则数列的前9项的和为 . 12. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为 . 13．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么AB等于 ．14．在△ABC中，有等式：① asinA=bsinB；② bsinC=csinB；③ acosB=bcosA；④. 其中恒成立的等式序号为________. 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）已知函数y=x3－3x2.（1）求函数的极小值；（2）求函数的递增区间. 16．（13分） 如图，在树丛中为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C. 并测量得到图中的一些数据，此外，.（1）求的面积；（2）求A、B两点之间的距离.17．（13分）已知等差数列的公差，前项和为.（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围.18．（13分）人们生活水平的提高，越来注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪. 1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？19．（14分）已知函数.（1）求的最小值；（2）若曲线在点)处与直线相切，求与的值.20．（14分）已知直线与抛物线交于、两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点.如右图所示.（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由. 中山市高二级2015—2015学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（文科）答案一、选择题：ADACB CBACD二、填空题：11. 162； 12. ； 13. 8； 14. ②④.15. 解：（1） ∵ y=x3－3x2， ∴ =3x2－6x，……………………………（3分）当时，；当时，. …………………………………（6分）∴ 当x=2时，函数有极小值-4. …………………………………………………（8分）（2）由=3x2-6x >0，解得x2， …………………………………………（11分）∴ 递增区间是，. ………………………………………………（13分）16. 解：（1）中， . ………………………………（2分）中， . ………………………………………………（4分）∴ 的面积为 . ………………（6分）（2）中， ……………（9分） = = ………………………………………（11分） = =. ……………………………………………………………………（13分）17. 解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以， …………………………………………（3分）即，解得或. ………………………………………（6分）（2）因为数列的公差，且, 所以， …………………………………………（9分）即，解得. ………………………………（13分）18. 解：设每天食用kg食物A，kg食物B，总花费为元，则目标函数为，且满足约束条件， ………（3分）整理为， ………（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示. ………………（7分）将目标函数变形为. 如图，作直线，当直线平移经过可行域，在过点M处时，轴上截距最小，即此时有最小值. ………………………………（9分）解方程组，得点M的坐标为. ……………………（12分）∴ 每天需要同时食用食物A约kg，食物B约kg. ……………（13分）19. 解：（1）由，得. …………………（2分）令，得. ………………………………………………………………（4分）与随x的变化情况如下: ……………………………………………………（6分）所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值. ……………………………………………………………………………………（7分）（2）因为曲线在点处与直线相切，所以，， ……………………………………（10分）解得，. ……………………………………………………………（14分）20. 解：（1）抛物线的方程化为，所以，. ………（2分）∴ 抛物线C的焦点坐标为. ……………………………………………………（4分）（2）联立方程组，解得点A坐标为. ………………………………（6分）联立方程组，解得点B坐标为. ……………………………………（7分）所以直线AB的方程为， ……………………………………（8分）令，解得. ∴ 点M的坐标为. …………………………………（9分）（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点. ………………………………………（10分）证明如下：设过抛物线的顶点的一条直线为 （），则另一条为联立方程组，解得点A坐标为. ………………………………（11分）联立方程组，解得点B坐标为. ………………………………（12分）所以直线AB的方程为， ………………………………（13分）令，解得. ∴ 直线AB恒过定点. ………………………（14分）广东省中山市2015-2016学年高二上学期期末考试（数学文）word版
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