平面向量的数量积的物理背景及其含义

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网



2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律.
二.目标
1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;
3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、重点难点
重点: 1、平面向量数量积的含义与物理意义,2、性质与运算律及其应用。
难点:平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚,所以讲解时需要详细
五、教学方法
1.实验法:多媒体、实物投影仪。
2.学案导学:见后面的学案。
3.新授教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、前准备
1.学生的学习准备:预习学案。
2.教师的教学准备:多媒体制作,前预习学案,内探究学案,后延伸拓展学案。。
七、时安排:1时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

(二)情景导入、展示目标。
创设问题情景,引出新
1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?
期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?
期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新引入:本节我们仍然按照这种研究思路研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义
(三)合作探究,精讲点拨
探究一:数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3:
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,
那么力F所做的功:W= F S cosα。
(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:
①W(功)是 量,
②F(力)是 量,
③S(位移)是 量,
④α是 。
(3)你能用字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
(1)数量积的定义:
已知两个非零向量 与 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ? ?•? b?cos 叫做 与 的数量积(或内积),记作: • ,即: • = ? ?•? ?cos
(2)定义说明:
①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略,也不可以用“ ”代替。
② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。
(3)提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?
期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量 与 的模有关,还和它们的夹角有关。
(4)学生讨论,并完成下表:
的范围
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符号

例1 :已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 • .
解:①当 ∥ 时,若 与 同向,则它们的夹角θ=0°,
∴ • =| |•| |cos0°=3×6×1=18;
若 与b反向,则它们的夹角θ=180°,
∴ • =| || |cos180°=3×6×(-1)=-18;
②当 ⊥ 时,它们的夹角θ=90°,
∴ • =0;
③当 与 的夹角是60°时,有
• =| || |cos60°=3×6× =9
评述: 两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°],因此,当 ∥ 时,有0°或180°两种可能.
变式:对于两个非零向量 、 ,求使 +t 最小时的t值,并求此时 与 +t 的夹角。

探究二:研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念:
如图,我们把│ │cos (│ │cos )
叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影,
记做:OB1=?│ │?cos
2.提出问题5:数量积的几何意义是什么?
期望学生回答:数量积 • 等于 的长度? ?与 在 的方向上的投影
? ?cos 的乘积。

3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话概括功的数学本质:功是力与位移的数量积 。


探究三:探究数量积的运算性质
1、提出问题6:
比较? • ?与? ?×? ?的大小,你有什么结论?
2、明晰:数量积的性质

3.数量积的运算律
(1)、提出问题7:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用?
预测:学生可能会提出以下猜想:
① • = •
②( • ) = ( • )
③( + )• = • + •
(2)、分析猜想:
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性,请同学们先讨论:猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一定相等吗?
期望学生回答:左边是与向量 共线的向量,而右边则是与向量 共线的向量,显然在向量 与向量 不共线的情况下猜测②是不正确的。
(3)、明晰:数量积的运算律:

例2、(师生共同完成)已知? ?=6,? ?=4, 与 的夹角为60°,求( +2 )•( -3 ),并思考此运算过程类似于实数哪种运算?
解:( +2 )•( -3 )= . -3 . +2 . -6 .
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72
评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式:(1)( + )2= 2+2 • + 2
(2)( + )•( - )= 2— 2

(四)反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(堂实录)
(五)发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义,那么,在下一节我们一起学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节后大家可以先预习这一部分,着重分析坐标的作用
设计意图:布置下节的预习作业,并对本节巩固提高。教师后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计


十、教学反思
本的设计采用了前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,后进行延伸拓展,以达到提高堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格,其次将数量积的几何意义提前,这样使学生从代数和

几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现,为了让学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到,数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到,这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
临清三中数学组 编写人:王晓燕 审稿人:刘桂江 李怀奎
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

前预习学案
一、预习目标:
预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律;
二、预习内容:
1.平面向量数量积(内积)的定义:


2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3.“投影”的概念:作图
4.向量的数量积的几何意义:
5.两个向量的数量积的性质:
设 、 为两个非零向量,e是与 同向的单位向量.
1 e = e =
2    =
设 、 为两个非零向量,e是 与同向的单位向量.
e = e =
3 当 与 同向时,  = 当 与 反向时,  = 特别的  = 2或
4 cos =
5  ≤

三、提出疑惑:
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义;
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
学习重难点:。平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
创设问题情景,引出新
1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?


2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?

3、新引入:本节我们仍然按照这种研究思路研究向量的另外一种运算:平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一:
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3:
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,
那么力F所做的功:W=
(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:
①W(功)是 量,
②F(力)是 量,
③S(位移)是 量,
④α是 。
(3)你能用字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
(1)数量积的定义:
已知两个非零向量 与 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ? ?•? ?cos 叫做 与 的数量积(或内积),记作: • ,即: • = ? ?•? ?cos
(2)定义说明:
①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略,也不可以用“ ”代替。
② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。
(3)提出问题4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?


(4)学生讨论,并完成下表:
的范围
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符号

例1 :已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 • .
解:

变式:
. 对于两个非零向量 、 ,求使 +t 最小时的t值,并求此时 与 +t 的夹角.

探究二:研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念:
如图,我们把│ │cos (│ │cos )
叫做向量 在 方向上( 在 方向上)的投影,
记做:OB1=?│ │?cos
2.提出问题5:数量积的几何意义是什么?

3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话概括功的数学本质:

探究三:探究数量积的运算性质
1、提出问题6:比较? • ?与? ?×? ?的大小,你有什么结论?

2、明晰:数量积的性质

3.数量积的运算律
(1)、提出问题7:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也用?


(2)、明晰:数量积的运算律:


例2、(师生共同完成)已知? ?=6,? ?=4, 与 的夹角为60°,求( +2 )•( -3 ),并思考此运算过程类似于实数哪种运算?
解:

变式:(1)( + )2= 2+2 • + 2
(2)( + )•( - )= 2— 2


(三)反思总结

(四)当堂检测

1 .已知 =5, =4, 与 的夹角θ=120o,求 • .

2. 已知 =6, =4, 与 的夹角为60o求( +2 )•( -3 )
.
3 .已知 =3, =4, 且 与 不共线,k为何值时,向量 +k 与 -k 互相垂直.

4.已知| |=3,| |=6,当① ∥ ,② ⊥ ,③ 与 的夹角是60°时,分别求 • .

5.已知 =1, = ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夹角为60°,求 + ;(3)若 - 与 垂直,求 与 的夹角.


6.设m、n是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 =2m+n与 =2n-3m的夹角.

后练习与提高
1.已知 =1, = ,且( - )与 垂直,则 与 的夹角是( )
A.60° B.30° C.135° D.45°
2.已知 =2, =1, 与 之间的夹角为 ,那么向量m= -4 的模为( )
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知 、 是非零向量,则 = 是( + )与( - )垂直的( )
A.充分但不必要条 B.必要但不充分条?
C.充要条 D.既不充分也不必要条
4.已知向量 、 的夹角为 , =2, =1,则 + • - = .
5.已知 + =2i-8j, - =-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么 • = .
6.已知 ⊥ 、c与 、 的夹角均为60°,且 =1, =2,c=3,则( +2 -c)2=______.


参考答案:
1. D 2. B 3. A
4. 5. 144 6. 11




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