2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、重点难点
重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体制作，前预习学案，内探究学案，后延伸拓展学案。。
七、时安排：1时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新引入：本节我们仍然按照这种研究思路研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W= F S cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ? ?•? b?cos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： • ，即： • = ? ?•? ?cos
（2）定义说明：
①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量 与 的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符号

例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .
解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，
∴ • ＝０；
③当 与 的夹角是60°时，有
• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量 、 ，求使 +t 最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角。

探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把│ │cos （│ │cos ）
叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，
记做：OB1=?│ │?cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积 • 等于 的长度? ?与 在 的方向上的投影
? ?cos 的乘积。

3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较? • ?与? ?×? ?的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
① • = •
②（ • ） = ( • )
③（ + ）• = • + •
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量 共线的向量，而右边则是与向量 共线的向量，显然在向量 与向量 不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知? ?=6，? ?=4, 与 的夹角为60°，求（ +2 ）•（ -3 ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（ +2 ）•（ -3 ）= . -3 . +2 . -6 .
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）( + )2= 2+2 • + 2
（2）( + )•( - )= 2— 2

（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节我们一起学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节的预习作业，并对本节巩固提高。教师后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计

十、教学反思
本的设计采用了前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，后进行延伸拓展，以达到提高堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和

几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
临清三中数学组 编写人：王晓燕 审稿人：刘桂江 李怀奎
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

前预习学案
一、预习目标：
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；
二、预习内容：
1.平面向量数量积（内积）的定义：


2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设 、 为两个非零向量，e是与 同向的单位向量.
1 e = e =
2    =
设 、 为两个非零向量，e是 与同向的单位向量.
e = e =
3 当 与 同向时，  = 当 与 反向时，  = 特别的  = 2或
4 cos =
5  ≤

三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
创设问题情景，引出新
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新引入：本节我们仍然按照这种研究思路研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一：
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是 量，
②F（力）是 量，
③S（位移）是 量，
④α是 。
（3）你能用字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ? ?•? ?cos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： • ，即： • = ? ?•? ?cos
（2）定义说明：
①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤ <90°
=90°
0°< ≤180°
• 的符号

例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .
解：

变式：
. 对于两个非零向量 、 ，求使 +t 最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角.

探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把│ │cos （│ │cos ）
叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，
记做：OB1=?│ │?cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

3. 研究数量积的物理意义
请同学们用一句话概括功的数学本质：

探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：比较? • ?与? ?×? ?的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？

（2）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知? ?=6，? ?=4, 与 的夹角为60°，求（ +2 ）•（ -3 ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：

变式：（1）( + )2= 2+2 • + 2
（2）( + )•( - )= 2— 2

（三）反思总结

(四)当堂检测

1 .已知 =5， =4， 与 的夹角θ=120o，求 • .

2. 已知 =6， =4， 与 的夹角为60o求( +2 )•( -3 )
.
3 .已知 =3， =4， 且 与 不共线，k为何值时，向量 +k 与 -k 互相垂直.

4.已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .

5.已知 =1， = ，(1)若 ∥ ，求 • ；(2)若 、 的夹角为６０°，求 + ；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.

6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量 =2m+n与 =2n-3m的夹角.

后练习与提高
1.已知 =1， = ，且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知 =2， =1， 与 之间的夹角为 ，那么向量m= -4 的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知 、 是非零向量，则 = 是( + )与( - )垂直的（ ）
A.充分但不必要条 B.必要但不充分条?
C.充要条 D.既不充分也不必要条
4.已知向量 、 的夹角为 ， =2， =1，则 + • - = .
5.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • = .
6.已知 ⊥ 、c与 、 的夹角均为60°，且 =1， =2，c=3，则( +2 -c)２＝______.

参考答案：
1. D 2. B 3. A
4. 5. 144 6. 11

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