江西省重点中学2015-2016学年高二(课改班)上学期第二次月考数

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试卷说明:

2015.12.5一.选择题(本大题共有10个小题,每小题5分,共50分.)1.下列求导运算正确的是( )A.(x+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′=-2xsinx 2.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2是平面,给出下列命题:①若;②若;③若;④若a与b异面,且相交;⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直。其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44.如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e=A.B.C.-1D.+1 B.C. D.6.若命题“存在xR,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是A. [-22 ] B. [-22 ] C. [- ] D.(-22)7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线 B.圆C.抛物线D.双曲线的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A.3B.2C.1D.09.已知P(x,y)是直线上一动点,PA,PB是圆C:的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则的值为( )若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”。下列方程:①;②,③;④对应的曲线中存在“自公切线”的有( )A.①②③B。③④C..②③D.②③④设p:4x-3≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.________.13.设00)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B.(Ⅰ)当M的坐标为(0,-l)时,求过M,A,B三点的圆的标准方程,并判断直线l与此圆的位置关系;Ⅱ)当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA ⊥MB若存在,有几个这样的点,若不存在,请说明理由21.(本小题14分)已知椭圆上任一点P,由点P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在PQ上,且,点M的轨迹为C.求曲线C的方程;过点D(0,-2)作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点且轴的直线上一动点,满足(O为原点),问是否存在这样的直线l, 使得四边形OANB为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由(x+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′=-2xsinx (2)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是(  ).A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2是平面,给出下列命题:若;②若;③若;④若a与b异面,且相交; ⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直. 其中真命题的个数是( A )A.1B.2C.3D.4(4)如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e=(  ).A.B.C.-1D.+1(5)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是 ( D )A.B.C.D.(6)若命题“存在xR,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是-22 ]. B. [-22 ] C. [- ] D.(-22)(7)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是A. 直线 B. 圆C线D线的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( B )A.3B.2C.1D.0(9)已知P(x,y)是直线上一动点,PA,PB是圆C:的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则的值为( D ) A.3 B. C. D.2(10)若在曲线f(x,y)=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f(x,y)=0的“自公切线”。下列方程:①;②,③;④对应的曲线中存在“自公切线”的有( C )A.①②③B。③④C..②③D.②③④ 设p:4x-3≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是_]_______.________.俯视图(13)设00,将点C(7,9)代入z得最大值为21.(4分)(2)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,故z的最小值是MN2=.(8分)(3)z=2×表示可行域内任一点(x,y)与定点Q连线的斜率的两倍,因此kQA=,kQB=,故z的范围为.(12分)(12分)的图象过点P(0,2),且在点M处的切线方程为. (Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求函数的单调区间.解:(Ⅰ)由的图象经过P(0,2),知d=2,所以由在处的切线方程是,知故所求的解析式是 (Ⅱ)解得 当当故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.18. (12分) 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格的证明.解:(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是2-a2-a2=0,解得a2=.(2)由题设知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,即S2n-2Sn+1-anSn=0.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.(*)由(1)得S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由(*)式可得S3=.由此猜想Sn=,n=1,2,3,….下面用数学归纳法证明这个结论.①n=1时已知结论成立.②假设n=k(k∈N*)时结论成立,即Sk=,当n=k+1时,由 (*)得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由①、②可知Sn=对所有正整数n都成立.(12分)S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB;(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大小;(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.解法一:(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED=EB.在正△ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,在Rt△NEF中,tan∠NFE==2,∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.(Ⅲ)在Rt△NEF中,NF==,∴S△CMN=CM?NF=,S△CMB=BM?CM=2.设点B到平面CMN的距离为h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴S△CMN?h=S△CMB?NE,∴h==.即点B到平面CMN的距离为.解法二:(Ⅰ)取AC中点O,连结OS、OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).∴=(-4,0,0),=(0,2,2),∵?=(-4,0,0)?(0,2,2)=0,∴AC⊥SB.(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0)=(-1,0,).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则 ?n=3x+y=0, 取z=1,则x=,y=-,∴n=(,-,1),?n=-x+z=0, 又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量, ∴cos(n,)==.∴二面角N-CM-B的大小为arccos.(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(-1,,0),n=(,-,1)为平面CMN的一个法江西省重点中学2015-2016学年高二(课改班)上学期第二次月考数学试题
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