一、
1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f′(x0)＝－12＜0.故应选B.
2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为( )
A．1 B.π4
C.54π D．－π4
[答案] B
[解析] ∵y′＝limΔx→0 [12(x＋Δx)2－2]－(12x2－2)Δx
＝limΔx→0 (x＋12Δx)＝x
∴切线的斜率k＝y′x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为π4，故应选B.
3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π4的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C.14，116 D.12，14
[答案] D
[解析] 易求y′＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为π4，则2x0＝1，∴x0＝12，∴P12，14.
4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
[答案] B
[解析] y′＝3x2－6x，∴y′x＝1＝－3.
由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0 f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[答案] B
[解析] limx→0 f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0 f(1－2x)－f(1)－2x
＝－1，即y′x＝1＝－1，
则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.
6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
[答案] B
[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.
8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，
∴Δy＝3x20?Δx＋3x0?(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，
∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，
∴3x20＋1＝4，x20＝1.∴x0＝±1，
故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.
9．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )
A.0，π2∪23π，π B.0，π2∪56π，π
C.23π，π D.π2，56π
[答案] A
[解析] 设P(x0，y0)，
∵f′(x)＝limΔx→0 (x＋Δx)3－3(x＋Δx)＋23－x3＋3x－23Δx
＝3x2－3，∴切线的斜率k＝3x20－3，
∴tanα＝3x20－3≥－3.
∴α∈0，π2∪23π，π.故应选A.
10．(2010?福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为( )
A．[－1，－12] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[12，1]
[答案] A
[解析] 考查导数的几何意义．
∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－12.
二、题
11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－1＝0
[解析] ∵f(x)＝x2＋3，x0＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4?Δx＋(Δx)2
∴ΔyΔx＝4＋Δx.∴limΔx→0 ΔyΔx＝4.即f′(2)＝4.
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)
即4x－y－1＝0.
12．若函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
[答案] y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
[解析] 由f(x)＝x－1x＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
∵f′(x)＝limΔx→0 (x＋Δx)－1x＋Δx－x＋1xΔx
＝limΔx→0 1＋1x(x＋Δx)＝1＋1x2.
∴切线的斜率k＝1＋11＝2.
∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．
[答案] 至少一
[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．
14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
[答案] 3x－y－11＝0
[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值．
设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝ ＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.
三、解答题
15．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程．
[解析] ∴y′＝limΔx→0 1x＋Δx－1x－(x＋Δx－x)Δx
＝limΔx→0 －Δxx(x＋Δx)－Δxx＋Δx＋xΔx
＝limΔx→0 －1x(x＋Δx)－1x＋Δx＋x＝－1x2－12x .
∴y′x＝4＝－116－14＝－516，
∴曲线在点P4，－74处的切线方程为：
y＋74＝－516(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．
[解析] (1)y′＝limΔx→0 (x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3xΔx＝3x2－3.
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率
k1＝f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x20－3，
∴直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)
又直线l过点P(1，－2)，
∴－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，
∴x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.
故所求直线斜率k＝3x20－3＝－94，
于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14.
17．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
[解析] y′＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx
＝limΔx→0 x＋Δx＋1x＋Δx－x＋1xΔx
＝limΔx→0 x?Δx(x＋Δx)－Δx(x＋Δx)?x?Δx
＝limΔx→0 (x＋Δx)x－1(x＋Δx)x
＝x2－1x2＝1－1x2＜1，
∴y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.
18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
[解析] (1)y′x＝1
＝limΔx→0 (1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，
所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，
y′x＝b＝limΔx→0 (b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx
＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)?(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y＝－13x－229.
(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，
即l1与l2的交点坐标为16，－52.
又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0.
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