惠安一中2015-2016学年高二上学期期中考试试卷理科数学（考试时间：120分钟　满分150分）一、选择题：每小题5分，共50分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案的字母序号填涂在答题卷相应的位置上.1. 为了了解名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为(　 　). . . .. 已知直线及曲线，则点 (　 　) 在直线上，但不在曲线上.在直线上，也在曲线上不在直线上，也不在曲线上.不在直线上，但在曲线上.　　. 　.　.. 下列命题的说法错误的是（ ）. 命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.. “”是“”的充分不必要条件.. 对于命题 则. 若为假命题，则、均为假命题.. 拉练行军中，某人从甲地到乙地共走了，途中涉水横穿过一条宽为的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，若物品遗落在河里就找不到，否则可以找到，已知找到该物品的概率为，则河宽为（ ） .　　　. . 　. x3456y2.5344.5 . 已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程那么的值为 ）.　　　 . 　. . 已知是不同平面，直线，直线，命题 与没有公共点； 命题 ，则是的 ( ).充分不必要条件 .必要不充分条件　 .充要条件 . 既不充分也不必要条件. 如图，定点和都在平面内，定点，是内异于和的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是.一条线段，但要去掉两个点.一个圆，但要去掉两个点一，但要去掉两个点.半圆，但要去掉两个点 .在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为（ ） . 　　 . . .. 下面给出四个命题：①若，则；②是一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件；③在数列中，是数列为递增数列的必要不充分条件；④方程表示的曲线是一个圆和一条直线．其中为真命题的是（ ）.①②③ 　　 　.①③④　　　　　 .②④ .①②③④二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置上.．已知集合，集合，任意,则的概率是 .. 阅读程序：若输入的的值为，则输出的结果的值为．用“辗转相除法”求得和的最大公约数是 . .一组数据的平均数是，则其方差是 ）. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.（本小题满分分）黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型该血型的人所占比例(%)已知同种血型的人可以输血型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是型血，若小明因病需要输血，问：()任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？()任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？.（本小题满分分）已知命题命题 若命题为假命题，求实数的取值范围．.（本小题满分分）如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，面面，分别为和的中点。（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求四棱锥的体积。.（本小题满分分）根据右图的程序框图，将输出的值依次分别记为；（Ⅰ）写出数列的递推公式，求的通项公式；（Ⅱ）写出数列的递推公式，求的通项公式；（Ⅲ）求数列的前项和 (）.. （本小题满分分）为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成组，绘成频率分布直方图如下图，从左到右各小组的小长方形的高之比为，最右边一组的频数是，请结合直方图的信息，解答下列问题；（Ⅰ）（Ⅱ）个学生的成绩作进一步调查，问成绩在分到分的学生有几个？（Ⅲ）分到分的学生中，至少有个是男生，求成绩在分到分的学生中，男生比女生多的概率。. （本小题满分分）在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切。（Ⅰ）的方程；（Ⅱ）与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围；（Ⅲ）是圆上任意三点，动点满足，问点的轨迹是否一定经过的重心（重心为三角形三条中线的交点），并证明你的结论。惠安一中2015-2016学年高二上学期期中考试高二（理科）数学参考答案及评分说明一.单项选择题: BBDDA CBBAA二.填空题：11. 12. 13. 14. 15. 三.解答题：.解： (Ⅰ)对任一人，其血型为、、、型血的事件分别记为、、、，它们是互斥的．由已知,,,…………………分因为、型血可以输给型血的人，故“可以输给型血的人”为事件根据互斥事件的加法公式，有…………………任找一人，其血可以输给小明的概率为…………………分(Ⅱ)由于、型血不能输给型血的人，故“不能输给型血的人”为事件，事件…………………分∴任找一人，其血不能输给小明的概率为.………………….解：若命题为命题在上恒成立，由，知，…………………分若命题为命题，即或…………………分由命题为假命题为假命题也为假命题…………………，即…………………分综上所求实数的取值范围………………………………………分.证明：（Ⅰ）连结,由题可知是的中点,∵分别是，的中点,∴∥ ∵平面，平面,∴∥平面 …………………分（Ⅱ）平面平面于,且⊥,∴⊥平面,又平面 , ∴平面⊥平面 …………………分（Ⅲ）过作⊥于, ∵△是等腰直角三角形， …………………分∴为的中点，∵平面⊥平面，∴⊥平面 …………………分∵△是等腰直角三角形，且，∴∴ …………………分.解：（Ⅰ）数列的递推公式为 ；…………………分∵，∴数列构成一个首项为公比为的等比数列，∴数列通项公式（）…………………分（Ⅱ）数列的递推公式为，…………………分证明：∵，∴是首项为公差为的等差数列。∴，即数列的通项公式为（）…………………分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，∴…………………分…………………分（）…………………分．解：（Ⅰ）设样本容量为，由题意得，所以所以样本的容量为…………………分.（Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有个，由题意得，所以…………………分（Ⅲ）分到分的学生中，男生比女生多的事件记为，男生数与女生数记为数对（），则基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共对…………………………分而事件包含的事件有：，，，，，，，，，共对。…………………分所以…………………分.解：（Ⅰ）的半径等于原点到直线的距离，即，∴圆的方程为．…………………分（Ⅱ），令得，∴……………………………………分设，由成等比数列，，即……………………………………分∵∴……………………………………分由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．……………………… 分（Ⅲ）的中点为，则, …………………分∴由得， ,∴∴所以三点共线, …………………分即点的轨迹是的中线所在的直线，故点的轨迹一定经过的重心。…………………分第15题第12题福建省惠安一中2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试卷
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