数学学科期末考试试题
注意：1．答卷前，你务必在答题纸上指定位置将班级、学号、姓名填写清楚．
2．本试卷共有20道试题，满分100分．考试时间90分钟．
3．细致冷静，诚实守信，数学老师祝你考出好成绩！
一．题（本大题满分11×4=44分）应在空格内直接填写结果．
1.已知向量 ，且 ，则 ．
2.用数学归纳法证明 时，从 推到 时，不等式左端应添加的代数式为 ．
3.系数矩阵为 ，且解为 的一个线性方程组是 ．
4. ．
5.程序框图如图所示，将输出的 的值依次记为 ， ， ，
那么数列 的通项公式为 ．
6.在正四面体 中，点 为棱 的中点，则异面直线
与 所成角的大小为 ．
7.若圆锥的侧面展开图是弧长为 cm、半径为 cm的扇形，
则该圆锥的体积为 .
8.在北纬 东经 有一座城市 A，在北纬 东经 有一座
城市B，设地球半径为 ，则 A、B两地之间的球面距离是 ．
9.已知等比数列的首项为 ， 是其前 项的和，某同学计算得
，后来该同学发现了其中一个数算错了，
则该数为 ．
10.某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有 辆国产车和 辆进口车，国产车的交易价格为每辆 万元，进口车的交易价格为每辆 万元．我们把 叫交易向量， 叫价格向量，则 的实际意义是 ．
11.设平面上三点 不共线，平面上另一点 满足 ，则 的面积与四边形 的面积之比为 ．
二．（本大题满分5×3=15分）每题有仅有一个正确答案，应在括号内填写选项．
12.设 是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列 是递增数列”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
13.右图是某同学为求1006个偶数：2, 4, 6, …, 2014的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
14.下列四个命题中真命题是（ ）
（A）垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（B）过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；
（C）底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；
（D）过球面上任意两点的大圆有且只有一个
15.已知等差数列 ， ，将其中所有能被 或 整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列 ，则 的值为（ ）
（A）15011 （B）15067 （C）15071 （D）15131
16.一位同学对三元一次方程组 （其中实系数 不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：
结论1：当 ，且 时，方程组有无穷多解；
结论2：当 ，且 都不为零时，方程组有无穷多解；
结论3：当 ，且 时，方程组无解．
但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）
（1） ； （2） ； （3）
（A）（1）（2）（3） （B）（1）（3）（2） （C）（2）（1）（3） （D）（3）（2）（1）
三．解答题（本大题满分41分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.(本题满分4+5=9分)
平面上三个非零向量 、 、 的模均为1，它们之间的夹角均为 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
18.(本题满分9分)
已知命题 ： （其中 为常数），命题 ：把三阶行列式 中第一行、第二列元素的代数余子式记为 ，且函数 在区间 上单调递增．若命题 是真命题，命题 是假命题，求实数 的取值范围．
19.(本题满分5+5=10分)
如图，在正方体 中， 分别为 和 的中点．
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求二面角 大小的余弦值．
20.(本题满分3+5+5=13分)
设数列 的通项公式为 . 数列 定义如下：对于正整数 ， 是使得不等式 成立的所有 中的最小值.
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）是否存在 和 ，使得 ？如果存在，求 和 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
答案
1. 或 2. 3.
4. 5. （ ） 6.
7. 8. 9.
10.该批轿车的交易总金额 11.
12.C 13.C 14.B 15.C 16.B
17.（1）证：
（2）解：将 平方得
即 或
故实数 的取值范围为 或 。
18.解： 真时，有
真时，有 ，由题意得：
假时，有
综合， 真 假时， 的取值范围是 。
19.（1）证：（法一）取 中点 ，连 ，易得
平面 ， 平面
平面
（法二）取 中点 ，连 ，易得
又
平面 平面
又 平面
平面
（2）解：连 交 于 ，连
易得
为二面角 的平面角
在 中，由余弦定理得
二面角 大小的余弦值为 。
20.解：（1） ，由 得，
（2） ，由 得，
当 时，
当 时，
（3）假设 存在，由 及 ，得
因 ，根据题意得：
即 对所有 都成立
显然 和 时，不可能，舍去
必有
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