高二数学反证法综合测试题(含答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
一、
1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是(  )
A.有一个解      
B.有两个解
C.至少有三个解
D.至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故应选C.
2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为(  )
A.a、b、c都是奇数
B.a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C.a、b、c都是偶数
D.a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a,b,c三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.
3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是(  )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.
4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是(  )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a、b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为a,b,c都不是偶数.
5.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是(  )
A.aB.a≤b
C.a=b
D.a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a=b或a6.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为(  )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.故应选C.
7.设a,b,c∈(-∞,0),则三数a+1b,c+1a,b+1c中(  )
A.都不大于-2
B.都不小于-2
C.至少有一个不大于-2
D.至少有一个不小于-2
[答案] C
[解析] a+1b+c+1a+b+1c
=a+1a+b+1b+c+1c
∵a,b,c∈(-∞,0),
∴a+1a=--a+-1a≤-2
b+1b=--b+-1b≤-2
c+1c=--c+-1c≤-2
∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6
∴三数a+1b、c+1a、b+1c中至少有一个不大于-2,故应选C.
8.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则(  )
A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m
则有l∥m,与l、m异面矛盾;对于C,过点P与l、m都相交的直线不一定存在,反例如图(l∥α);对于D,过点P与l、m都异面的直线不唯一.
9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是(  )
A.甲    
B.乙    
C.丙    
D.丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选C.
10.已知x1>0,x1≠1且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1(n=1,2…),试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为(  )
A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1
B.存在正整数n,使xn=xn+1
C.存在正整数n,使xn≥xn+1且xn≤xn-1
D.存在正整数n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“存在正整数n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选D.
二、题
11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________.
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”.
12.用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么反设的内容是________________.
[答案] a,b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”.
13.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.
正确顺序的序号排列为____________.
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.
14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下:
假设______________.设全体质数为p1、p2、…、pn,令p=p1p2…pn+1.
显然,p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数,要么含有______________的质因数.这表明,除质数p1、p2、…、pn之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.
[答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得.
三、解答题
15.已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.
求证:a>0,b>0,c>0.
[证明] 用反证法:
假设a,b,c不都是正数,由abc>0可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设a<0,b<0,c>0,则由a+b+c>0,
可得c>-(a+b),
又a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b)
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2
∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即ab+bc+ca<0,
这与已知ab+bc+ca>0矛盾,所以假设不成立.
因此a>0,b>0,c>0成立.
16.已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.
[证明] 证法1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数,∴1-a、1-b、1-c都是正数.(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,
同理(1-b)+c2>12,(1-c)+a2>12.
三式相加,得
(1-a)+b2+(1-b)+c2+(1-c)+a2>32,
即32>32,矛盾.
所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.
证法2:假设三个式子同时大于14,即(1-a)b>14,(1-b)c>14,(1-c)a>14,三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>143①
因为0同理,0所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤143.②
因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.
17.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.
(1)若a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.
[解析] (1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(-b).
又a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a).
两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)逆命题:
f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0.
下面用反证法证之.
假设a+b<0,那么:
a+b<0?a<-b?f(a)?f(a)+f(b)这与已知矛盾,故只有a+b≥0.逆命题得证.
18.(2010?湖北理,20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn=1423n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br,则只可能有2bs=br+bt成立.
∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.
两边同乘3t-121-r,化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s,


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