一、
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx( )
A.大于零 B.小于零
C.等于零 D.不等于零
[答案] D
[解析] Δx可正,可负,但不为0,故应选D.
2.设函数y=f(x),当自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数的改变量Δy为( )
A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx
C.f(x0)?Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
[答案] D
[解析] 由定义,函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D.
3.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( )
A.3 B.0.29
C.2.09 D.2.9
[答案] D
[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.
f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.
∴平均变化率为f(-0.9)-f(-1)-0.9-(-1)=-1.71-(-2)0.1=2.9,故应选D.
4.已知函数f(x)=x2+4上两点A,B,xA=1,xB=1.3,则直线AB的斜率为( )
A.2 B.2.3
C.2.09 D.2.1
[答案] B
[解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69.
∴kAB=f(1.3)-f(1)1.3-1=5.69-50.3=2.3,故应选B.
5.已知函数f(x)=-x2+2x,函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为( )
A.2-Δx B.-2-Δx
C.2+Δx D.(Δx)2-2?Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)=-22+2×2=0,
∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx)
=-2Δx-(Δx)2,
∴f(2+Δx)-f(2)2+Δx-2=-2-Δx,故应选B.
6.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则ΔyΔx等于( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
[答案] C
[解析] ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)Δx
=[(1+Δx)2+1]-2Δx=2+Δx.故应选C.
7.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为( )
A.6.3 B.36.3
C.3.3 D.9.3
[答案] A
[解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89,
∴平均速度v=S(3.3)-S(3)3.3-3=1.890.3=6.3,故应选A.
8.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=1x中,平均变化率最大的是( )
A.④ B.③
C.② D.①
[答案] B
[解析] Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=1x在x=1附近的平均变化率k4=-11+Δx=-1013.∴k3>k2>k1>k4,故应选B.
9.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是( )
A.v0 B.Δts(t0+Δt)-s(t0)
C.s(t0+Δt)-s(t0)Δt D.s(t)t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确,故应选C.
10.已知曲线y=14x2和这条曲线上的一点P1,14,Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标为( )
A.1+Δx,14(Δx)2 B.Δx,14(Δx)2
C.1+Δx,14(Δx+1)2 D.Δx,14(1+Δx)2
[答案] C
[解析] 点Q的横坐标应为1+Δx,所以其纵坐标为f(1+Δx)=14(Δx+1)2,故应选C.
二、题
11.已知函数y=x3-2,当x=2时,ΔyΔx=________.
[答案] (Δx)2+6Δx+12
[解析] ΔyΔx=(2+Δx)3-2-(23-2)Δx
=(Δx)3+6(Δx)2+12ΔxΔx
=(Δx)2+6Δx+12.
12.在x=2附近,Δx=14时,函数y=1x的平均变化率为________.
[答案] -29
[解析] ΔyΔx=12+Δx-12Δx=-14+2Δx=-29.
13.函数y=x在x=1附近,当Δx=12时的平均变化率为________.
[答案] 6-2
[解析] ΔyΔx=1+Δx-1Δx=11+Δx+1=6-2.
14.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是________;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是________.
[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx=1时,割线AB的斜率
k1=ΔyΔx=(2+Δx)2-1-22+1Δx=(2+1)2-221=5.
当Δx=0.1时,割线AB的斜率
k2=ΔyΔx=(2+0.1)2-1-22+10.1=4.1.
三、解答题
15.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.
[解析] 函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为
f(-1)-f(-3)-1-(-3)=[2×(-1)+1]-[2×(-3)+1]2=2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
f(5)-f(0)5-0=2.
函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为
g(-1)-g(-3)-1-(-3)=-2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为
g(5)-g(0)5-0=-2.
16.过曲线f(x)=2x2的图象上两点A(1,2),B(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线AB,求出当Δx=14时割线的斜率.
[解析] 割线AB的斜率k=(2+Δy)-2(1+Δx)-1=ΔyΔx
=2(1+Δx)2-2Δx=-2(Δx+2)(1+Δx)2=-7225.
17.求函数y=x2在x=1、2、3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大?
[解析] 在x=2附近的平均变化率为
k1=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2-1Δx=2+Δx;
在x=2附近的平均变化率为
k2=f(2+Δx)-f(2)Δx=(2+Δx)2-22Δx=4+Δx;
在x=3附近的平均变化率为
k3=f(3+Δx)-f(3)Δx=(3+Δx)2-32Δx=6+Δx.
对任意Δx有,k1<k2<k3,
∴在x=3附近的平均变化率最大.
18.(2010?杭州高二检测)路灯距地面8m,一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯.
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率.
[解析] (1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym,由于CD∥BE,
则ABAC=BECD,
即yy+x=1.68,所以y=f(x)=14x.
(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为
x2-x1=1.4×10-1.4×0=14,
f(x2)-f(x1)=14×14-14×0=72.
所以f(x2)-f(x1)x2-x1=7214=14.
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