选修2-2 2.1.1 第1课时 归纳推理
一、
1．关于归纳推理，下列说法正确的是( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.
2．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
[答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28
B．32
C．33
D．27
[答案] B
[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )
A．2n－2－12
B．2n－2
C．2n－1＋1
D．2n＋1－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.
故应选B.
5．某人为了观看2014年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]
D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息为a(1＋p)．
到2007年5月10日存款及利息为
a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]
到2008年5月10日存款及利息为
a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]
……
所以到2014年5月10日存款及利息为
a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]
＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)
＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．
故应选D.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.2(n＋1)2
B.2n(n＋1)
C.22n－1
D.22n－1
[答案] B
[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝13＝23×2，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
?a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.
所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.
7．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2010到2014箭头的方向依次为( )
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
[答案] C
[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2014为↑→，故应选C.
8．(2010?山东文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．
9．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.
10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.
二、题
11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．
[答案] 13,3n＋1
[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．
12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．
[答案] S＝4(n－1)(n≥2)
[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．
14．(2009?浙江理，15)观察下列等式：
C15＋C55＝23－2，
C19＋C59＋C99＝27＋23，
C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，
C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力
等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.
三、解答题
15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立，
在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立，
在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n－2)π(n≥3)．
∴在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1An≥n2(n－2)π(n≥3)．
16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．
平面区域顶点数边数区域数
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？
[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
平面区域顶点数边数区域数关系
(1)3323＋2－3＝2
(2)81268＋6－12＝2
(3)6956＋5－9＝2
(4)1015710＋7－15＝2
结论VEFV＋F－E＝2
推广999E999E＝999＋999－2
＝1996
其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2.
故可猜想此平面图可能有1996条边．
17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．
[解析] b1＝a?r100＋a4?p100a＋a4＝110045r＋15p，
b2＝ab1＋a4?p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.
b3＝a?b2＋a4?p100a＋a4
＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，
∴归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.
18．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．
[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．
即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．
但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．
所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．
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