高二数学综合法和分析法

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
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学生探究过程:
证明的方法
(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。
(2)、例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明:(用分析法思路书写)
要证 a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需证a2-ab+b2>ab成立。(∵a +b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a-b)2 >0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立,由此 命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由 题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
例2、若实数 ,求证:
证明:采用差值比较法:

=
=
=
=



例3、已知 求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于 对称,不妨设
,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设
故原不等式得证。
注:比较法是证明不等 式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
讨论:若题设中去掉 这一限制条件,要求证的结论如何变换?

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