2013-2014学年度上学期期中考试
高二数学文试题
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分．共150分，考试时间120分钟。
第 Ⅰ 卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．下列命题中: ① 若A α, B α, 则AB α;② 若A α, A β, 则α、β一定相交于一条直线，设为m,且A m； ③经过三个点有且只有一个平面 ④ 若a ?b, c?b, 则a//c. 正确命题的个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2． 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②。那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是（ ）
A ①用随机抽样法，②用系统抽样法 B ①用系统抽样法，②用分层抽样法
C ①用分层抽样法，②用随机抽样法 D ①用分层抽样法，②用系统抽样法
3．如果平面?外有两点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB和平面?的位置关系一定是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. AB?? D. 平行或相交
4．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
ξ123
P0.20.5m
5．随机变量ξ的分布列如下表所示，则ξ的数学期望为（ ）
A 2.0 B 2.1 C 2.2 D 随m的变化而变化
6．如图，正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① 与 平行；② 与 是异面直线；③ 与 成60°的角；④ 与 垂直。
其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③④
7．如右图为一个几何体的三视图，其中
俯视图为正三角形， ， ，
则该几何体的表面积为( )
A . B.
C. D. 32
8．右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数
中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的
（ ）
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c
9．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部
随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
A． B. C. D.
10．在正四棱锥P-ABCD中，点P在底面上的射影为O，
E为PC的中点，则直线AP与OE的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能
11．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 ，则球的半径是（ ） .
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
12．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为正确的命题是( )
A．若a∥b，b α，则a∥α B．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β
C．若a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β D．若α∥β，a α，a β，a∥α，则a∥β
第 Ⅱ 卷 (非选择题，共90分)
二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是 ;（用数字作答）
14．下列各数 、 、 中最小的数是 ;
15．正方体 中，对角线 与 所成角分别为α、β、 ，则 ；
16．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，
抽出一个容量为n且支出在［20，60)的样本，其频率
分布直方图如图所示，其支出在［50，60)的同学
有30个.则n的值为 。
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分10分）对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽 门功课，得到的观测值如下：
问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
18．（本小题满分12分）△ABC中， ， 分别是角A、B、C的对边，
(1)求 的值；
(2)若 ，求△ABC的面积。
19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱 中， ，点 是 的中点。
（1）求证： //平面 ；
（2）求证：平面 ⊥平面 ；
（3）若 ，求二面角 的大小。
20．（本小题满分12分） 已知数列 满足 是首项为1，公比为 的等比数列。
（1）求 ；
（2）如果 , ，求数列 的前n项和 。
21．（本小题满分12分）袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：
（1）A：取出的2个球都是白球；
（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球。
22．（本小题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方 体 中， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： //平面 ；
（2）求证： ；
（3）求三棱锥 的体积．
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号123456789 101112
答案B C D D B C C A C A C D
二、题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13、 ； 14、 ；
15、 1 ； 16、 100 。
三、解答题。（本大题共6小题，共计70分）
17、（本小题满分10分）
∵
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡
18、（本小题满分12分）
解：（1）
（2）由 得
又
由正弦定理得
所以，△ 的面积
19、（本小题满分12分）
解：（1）连接AC1交A1C于E，连接DE，∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点。
又CD 平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B 。
（3） 二面角的平面角为 。
20、（本小题满分12分）
解：（1）由 ，当n≥2时， ，
∴
①当a=1时， ;
②当a≠1时， ，
∴
（2）
………………………………………………………①
则 ……………………………………②
①-②，得
21、（本小题满分12分）
解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6。从袋中的6个小球中任取2个的方法为
共15种。
（1）从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种。即：∴取出的2个球全是白球的概率为
。
（2）从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8种。∴取出的2 个球中1个是白球，另1个是红球的概率为 。
22、（本小题满分12分）
解：（1）证明：连结 ，在△ 中， 、 分别为 ， 的中点，则 ∥
又 平面 ， 平面 ∴ ∥平面 ………
（2）证明
∵ ，
∴ 平面
又 平面 ，∴ ，又 ∥ ，
∴ …………
（3）解：∵ ，∴ ⊥平面 ，即 ⊥平面 ，且
，
，
∴ ，即
= = ……
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