南安一中~学年度上学期期末考高二年理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列几种推理过程是演绎推理的是(　　)A．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C．由圆的性质推测球的性质D．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A和B是两条平行直线的内错角，则A＝B2．的导函数的图象如图所示，则函数的图象最有可能的是图中的(　　)用反证法证明命题 自然数a、b 、c中恰有一个偶数时A．a、b、c都是奇数 B．a、b 、c都是偶数C．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 D．a、b 、c中至少有两个偶数，当时，（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．为纯虚数，那么实数的值为（ ）. gkstkA．－2 B．1 C．2 D．1或 －2 6．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面； ④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 ．其中正确命题的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．07．一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为，则该物体从0秒到4秒运动所经过的路程为( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．—8．若函数，则是（ 　）Ａ．仅有最小值的奇函数 Ｂ．仅有最大值的偶函数Ｃ．既有最大值又有最小值的偶函数 Ｄ．非奇非偶函数9．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是．[1，＋∞)－2，＋∞)[－2，] Ｄ． [－2，＋∞)的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（　　）Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．如图，四面体中，分别的中点，,，则点到平面的距离 ( )A． 　　　　B． 　　 　C．　　　D． 12．设函数的导函数满足 对于恒成立，则（ ）A．， B．，C．， D．，第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．若 为虚数单位，则的值为_______.14．15．在椭圆C：中，当离心率e趋近于0，椭圆就趋近于圆，类比圆的面积公式，椭圆C的面积 ．16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：①当时，； ②函数有五个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立．． ，其导函数为。（Ⅰ）求在处的切线的方程 （Ⅱ）求直线与图象围成的图形的面积18．（本小题满分12分）设数列，＝2n∈N*.（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；19．（本小题满分12分）如图是某直三棱柱侧棱与底面垂直被削去后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．求出该几何体的体积；求证：平面BDE平面BCD；．；②；③．（以上三式中均为常数，且）（注：函数的定义域是）．其中表示4月1日，表示5月1日，…，依此类推.（Ⅰ）请判断以上哪个价格模拟函数能准确模拟价格变化走势，为什么？（Ⅱ）若该果品4月1日投入市场的初始价格定为6元，且接下来的一个月价格持续上涨，并在5 月1日达到了一个最高峰，求出所选函数的解析式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，为保护果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽境外销售，且销售价格为该果品上市期间最低价格的2倍，请你预测该果品在哪几个月内价格下跌及境外销售的价格．21．（本小题满分12分）如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，AA1C1C也为菱形且∠A1AC=∠DAB=60o，平面AA1C1C平面ABCD.证明：BDAA1；证明：平面AB1C平面DA1C1；在CC1上是否存在点P，使DA1和平面DA1C1所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．， ．（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．南安一中~学年度上学期期末考高二年理科数学试卷 参考答案一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1-6 DACCAD 7-12 CCDBBD 11．解析：易证平面，以为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，可求是平面的一个法向量．又点到平面的距离，选B．12．解析：设，，在上递增，gkstk且，同理，，∴， 选D二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13． －4 14． 15． 16． ①③④ 14．解析： ∵为奇函数，∴16．①③④．解析：函数的图象如图，可得极值点，，时，，．由图象可知有3个零点（是零点）；若关于的方程有解，则三、解答题17．解：（Ⅰ） 又 ………4分 即： ………6分 （Ⅱ）由 ………8分 ………12分18．解：由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想an的一个通项公式为：an＝n＋1(nN*)．（Ⅱ）证明：当n＝1时，a12，成立．②假设当n＝kk∈N*且k≥1时成立，即akk＋1，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak(ak－k)＋1(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1(k＋1)＋1.根据和，对于所有nN*，都有ann＋1.19．解由题意可知，四棱锥B－ACDE中，AE平面ABC，AE⊥AB ，又AB⊥AC，AE和AC相交，所以，AB平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，则四棱锥B－ACDE的体积为．（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， ………5分设平面BDE和平面BCD，取 ………6分，取 ………7分，∴平面BDE平面BCD， ………11分直线CE与平面BDE的夹角正弦值为 ………12分20．解：（Ⅰ）应选．………… 1分因为①中单调函数；②的图象不具有先升再降后升特征；③中，，令，得，，有两个零点．出现两个递增区间和一个递减区间，符合价格走势；…………… 4分（Ⅱ）由，，得…… 6分 解得（其中舍去），即；………… 8分（Ⅲ）由，解得，………… 9分x0(0，1)1(1，3)3（3，5）56↑极大值10↓极小值6↑26 ………… 11分所以函数在区间上单调递减，故这种水果在5月，6月份价格下跌．且境外销售的价格为（元）………… 12分21．解：证明：连接BD，平面ABCD为菱形，BD⊥AC，由于平面AA1C1C平面ABCD，则BD平面AA1C1C，又A1A平面AA1C1C，故BDAA1. ………………4分（Ⅱ）证明：由棱柱的性质 知AB1C1D为平行四边形 ∴AB1∥DC1，AB1在平面DA1C1DC1平面DA1C1AB1∥平面DA1C1B1C∥平面DA1C1AB1∩B1C＝B1，平面AB1C平面DA1C1.（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A1O， ∵菱形AA1C1C且∠A1AC =60o，∴正三角形A1AC ，且O为AC中点， ∴A1O⊥AC 又平面AA1C1C平面ABCD平面AA1C1C平面ABCDA1O⊥平面ABCD，，，， ，设则设平面DA1C1和平面PDA1 的的法向量分别为，取取 ………10分（舍去） ………11分当P为CC1的中点时，平面PDA1和平面DA1C1所成的锐二面角的余弦值为．…12分22. 解：（Ⅰ），， ．．．．．．．1分①，函数在上单调递增 ．．．．．．．．2分②，，函数的单调递增区间为 ．．．．．3分，函数的单调递减区间为 ．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）存在，使得成立等价于：，．．．．．．．．．．．．．．．．5分考察， ， ．．．．．．．．．．．．．．．6分递减极（最）小值递增 ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由上表可知：，， ．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以满足条件的最大整数； ．．．．．．．．．．．．．．．．10分（Ⅲ）问题等价于当，，即当时，恒成立，等价于恒成立， ．．．．．．．．．．．11分记，所以， 。记，当，即函数在区间上递增，当，，即函数在区间上递减，取到极大值也是最大值 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分另解：设，，∵，，∴在上递减，且，∴当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减， ．．．．．．．．．．13分所以，所以。 ．．．．．．．．．．．．．．．．14分gkstk俯视图侧视图福建省南安一中高二上学期期末理科数学试题
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