期中考试高二数学试题（理科）
一、(5×１2＝６0分)下列各小题都给出了四个选项，其中有且只有一个选项是符合题意的，请你把符合题意的选项代码填涂答题卡上。
1．如图所示，是程序框图的一部分，则该部分程序框图
中基本逻辑结构有( )
(A)顺序结构、条件结构、循环结构 (B)条件结构
(C)顺序结构、条件结构 (D)条件结构、循环结构[:Ks5u.co]
2．已知 、 为实数,则 是 的 ( )
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．给出命题:若函数 是幂函数,则函数 的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4．从装有2个红球和2个黑球的袋内任取2球，那么互斥不对立的两个事件是 ( )
(A)至少有一个黑球与都是黑球 (B)至多有一个黑球与都是黑球
(C)至少有一个黑球与至少有一个红球 (D)恰有一个黑球与恰有两个黑球
5．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑2名演主角，后又从剩下的演员中挑1名演配角，这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为（ ）
6．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10人依次摸出球，设第1人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出的球是黑球的概率是P10，则（ ）
7．当 为任意实数时,直线 恒过定点 ,则过点 的抛物线的标准方程是( )
A. B. [
C. D.
8.如图给出的是计算 的值
的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )
(A)i>100 (B)i<=100 (C)i>50 (D)i<=50
9．设 和 为双曲线 ( )的两个焦点, 若 , 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
10、双曲线的虚轴长为4,离心率 , 、 分别是它的左、右焦点,若过 的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且 是 与 的等差中项,则 等于( )
A. B. C. D.8.
11．中心在原点,焦点在x轴上,焦距等于6,离心率等于 ,则椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
12．焦点为 且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
二、题(4×5＝20分)将下列各题结果填在答案纸上的相应横线上
13．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于 的概率是______.
14．现有下列命题:
①命题“ ”的否定是“ ”;
②若 , ,则 ;
③函数 是偶函数的充要条件是 ;
④若非零向量 满足 = = ( ),则 =1.
其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)
15．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这
10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在［2 500,3 000)(元)月收入段应抽出______人.
16．现给出一个算法的算法语句如下，此算法的运行结果是______
三、解答题：本大题共6小题，共70分，（解答时应写出文字说明、证明过程或推演步骤）把解答过程写在答案纸上的相应空白处。
17． (10分)
设命题p:不等式 的解集是 ;命题q:不等式 的解集是 ,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.
18．（12分）点（x，y）与定点（4,0）的距离和它到直线l:x= 的距离的比是常数 ，求点的轨迹。
19．（12分）某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1）求x的值.
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y≥245,z≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.
20.（12分）甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
21．（12分）椭圆 的离心率为 ,椭圆与直线 相交于点 ,且 ,求椭圆的方程.
. 22． (12分)设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1， ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线P、PN的斜率都存在，并记为kP、kPN时，那么kP与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明．
围.
南宫中学高二期中考试试卷 (理) 数学参考答案
一、(5×１2＝６0分)下列各小题都给出了四个选项，其中有且只有一个选项是符合题意的，请你把符合题意的选项代码填涂答题卡上。
1． 【解析】选C.程序框图的基本逻辑结构有顺序结构、条件结构、循环结构，根据它们各自的特点，知该部分程序框图中基本逻辑结构有顺序结构、条件结构.
2． A ,当 或 时,不能得到 ,反之成立
3． B 原命题为真,其逆命题为假,∴否命题为假,逆否命题为真.
4． 【解析】选D.对于A，至少有一个黑球包括一黑一红与两黑，而都是黑球与它既不互斥也不对立，对于B，至多有一个黑球包括两红与一黑一红，而都是黑球指两黑，故既互斥
8．【解析】选B.图中是当型循环结
构.即条件成立时执行循环体，故
填入的条件应为i<=100.
9． B由 有 ,则 ,故选B.
10、A 由题意可知 于是 ,∵ ,
∴ ,
得
11． C 依题意 ,所以,所求椭圆方程为
12． A 由题意,可设所求的双曲线方程为 ,因为焦点为 ,
∴ 解得 ,故所求双曲线方程为
二、题(4×5＝20分)将下列各题结果填在答案纸上的相应横线上
13．
14．②③ 将 = 代入 = 得( ) =0,∴ ,有 ,④错.
15 【解析】由图知,在［2 500,3 000)(元)月收入段居民人数的频率为500×0.000 5=0.25.
所以在此收入段应抽出 100×0.25=25人.
答案：25
16．【解析】选A.因为1+2+…+9=45<50，1+2+…+10=55>50,所以T=10+1=11，
此算法的运行结果是11.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，（解答时应写出文字说明、证明过程或推演步骤）把解答过程写在答案纸上的相应空白处。
∴命题q: .
由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.
当p、q均为假命题,则 ,而 .
∴实数a的值取值范围是 .
18．点（x，y）与定点（4, 0）的距离和它到直线l:x= 的距离的比是常数 ，求点的轨迹。
解：设d是点到直线l:x= 的距离。根据题意，点的轨迹就是集合P= ，由此得
化简得
所以，点的轨迹是长轴，短轴分别为10,6，的椭圆。
19．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为（y,z）,由（2）知y+z=500,且y、z为正整数.
基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），…，（255，245）共11个，事件A包含的基本事件有（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个，所以P（A）= .
20.【解析】(1)基本事件与点集S={(x,y)x∈N,y∈N, 1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.
因为S中点的总数为5×5=25(个),
所以基本事件总数为25.
事件A包含的基本事件共5个:
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).
所以P（A）= .
(2)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件为13个：
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),
(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).
所以甲赢的概率为 ,乙赢的概率为 .
所以这种游戏规则不公平.
21．
22．（14分）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1， ）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线P、PN的斜率都存在，并记为kP、kPN时，那么kP与kPN之积是与点P位置无关的19．解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1， ）在椭圆上，因此 =1得b2=3，于是c2=1.
所以椭圆C的方程为 =1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）.
（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：
， 即x1=2x+1，y1=2y.
因此 =1.即 为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若、N是双曲线： =1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线P、PN的斜率都存在，并记为kP、kPN时，那么kP与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点的坐标为（，n），则点N的坐标为（－，－n），其中 =1.
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