吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)

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试卷说明:

长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试数 学 试 题 (理科)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题),满分150分,测试时间120分钟。一、选择题(每题5分,共60分)1.抛物线的准线方程为 ( )A. B. C. D. 2.设,若,则 =( )A. B.1C. D. 3.阅读如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.20 B.3 C. 2 D.604.若直线过圆的圆心,则的值为( )A.1 B.-1 C.3 D.-3 5.将一枚骰子先后掷两次,向上点数之和为,则≥7的概率为 ( )A. B. C. D.6.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )A.3 B.-2 C.1 D.7.下列命题中的假命题是 ( ) A. B.C. D. 8.曲线围成的封闭图形的面积为 ( )A.10 B.8C.2 D.13 9.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段中点到轴的距离为 ( )A.16 B.6 C.8D. 410.已知为实数,则“且”是“”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知双曲线的中心在原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且中点为,则的方程为 ( )A. B. C. D. 12.已知函数,若函数恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.双曲线的离心率为________________.14.函数的极小值点为_____________.15.抛物线焦点在轴上,且被截得的弦长为5,则抛物线的标准方程为________________.16.已知函数,且 现给出如下结论:①;②;③;④,其中正确的序号为________________.三、解答题(本大题共70分)(解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)为统计某校学生数学学业水平测试成绩,现抽出40名学生成绩,得到样本频率分布直方图,如图所示,规定不低于60分为及格,不低于85分为优秀.(1)估计总体的及格率;(2)求样本中优秀人数;(3)若从样本中优秀的学生里抽出2人,求这两人至少有一人数学成绩不低于90分的概率.18.(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的极值;(2)当时,求的最值.19.(本小题满分12分)已知双曲线:过点,且离心率为2,过右焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为M,N.(1)求双曲线的方程;(2)求四边形OMFN的面积(O为坐标原点).20.(本小题满分12分)设为椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,已知,是一个直角三角形的三个顶点,且.(1)求的长度;(2)求的值.21. (本小题满分12分)已知抛物线:,直线:,点是直线上任意一点,过点作抛物线的切线,切点分别为,直线斜率分别为,如图所示 . (1)若,求证:;(2)当在直线上运动时,求证:直线 过定点,并求出该定点坐标.22. (本小题满分12分)已知函数,(为常数,是自然对数的底数)在处的切线方程为.(1)求的值,并求函数的单调区间;(2)当,时,证明:.长春市十一高中2013-2014学年度高二上学期期末考试数 学(理科) 答案 一、选择题(每题5分,共60分)1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C二、填空题(每小题5分,共20分)13. 14. 15.或 16.②③三、解答题17.(本小题10分)解:(1)及格率为------------2分(2)优秀人数6人--------------4分(3)85分—90分有2人,设为、;90分—100分有4人,设为、、、,------------6分那么一次试验的全部结果为:,, , , , , , ,, ,,,,,------------ --------8分共15个结果,所以-----------10分18.(本小题12分)解:(1)------------1分令=0得------------2分x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增16单调递减-16单调递增------------6分所以极大值为,极小值为 ------------8分(2)由(1)知,,,又所以最大值为,最小值为------------12分19.(本小题12分)解:(1)因为,所以3,------------2分设双曲线方程为∴双曲线过点,则有,∴双曲线方程为-------- --------5分(2)右焦点F到渐近线的距离,-----------9分,∴-----------12分20.(本小题12分)解:(1)若是直角,则,即,得= -----------3分若是直角,则,即,得=8 ---------6分(2)若是直角,则,即,得=,=,∴-----------9分若是直角,则,即,得=8,=4, ∴综上,或-----------12分21. (本小题12分)解:(1)设过的切线方程为:,代入抛物线,消去得:,由,所以:,该方程的两个根为直线斜率,所以:.-----------5分(2)设,,切点对求导数,,所以:故:直线:, 直线:由于,所以::,:由于直线,都过点,有: ,这说明满足直线的方程,所以直线为:,再由所以为:,, 即过定点.------12分22. (本小题12分)解:(1)由条件知函数过点,所以:------①对求导数:,------②由①、②解得:.故:,令得:,令得:所以函数的单调增区间为,单调减区间为.--------6分(2)由(1)知,当时,;当时,,则 在为减函数,在为增函数,若,,则必有,不妨设.若证,即证,只需证:即:, 设, 即在上恒成立,即设,,∴是上的增函数,故∴是上是减函数,故,所以原命题成立. ---------12分体验 探究 合作 展示(21题图)(17题图)40 50 60 70 80 90 1000.0050.010.0150.025分数0.035(3题图)否是输出开始结束体验 探究 合作 展示吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
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