空间中具有大小和方向的量叫做空间向量,下面是空间向量及其运算专题训练,请考生及时练习。
一、选择题
1.以下四个命题中正确的是().
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底
C.ABC为直角三角形的充要条件是=0
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=(b+c)+(c+a),(1-)a=(-1)b+(+)c,,不可能同时为1,设1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.
答案 B
2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,则x= ().
A.-4 B.-2 C.4 D.2
解析 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),
c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).
(c-a)(2b)=2(1-x)=-2,x=2.
答案 D
3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是().
A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}
解析 若c、a+b、a-b共面,则c=(a+b)+m(a-b)=(+m)a+(-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.
答案 C
4.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且AOB=AOC=,则cos〈,〉的值为().
A.0 B.
C. D.
解析 设=a,=b,=c,
由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|,
=a(c-b)=ac-ab=|a||c|-|a||b|=0,cos〈,〉=0.
答案 A5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是().
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
解析 =+=+(-)
=c+(b-a)=-a+b+c.
答案 A.如图,在大小为45的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()
A.
B.
C.1
D.
解析 =++,||2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1-=3-,故||=.答案 D二、填空题
R,向量,且,则
解析 .
答案
8. 在空间四边形ABCD中,++=________.
解析 如图,设=a,=b,=c,
++=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=0.
答案 0.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,(++)2=32;(-)=0;向量与向量的夹角是60正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||.其中正确命题的序号是________.
解析 由,,,得(++)2=3()2,故正确;中-=,由于AB1A1C,故正确;中A1B与AD1两异面直线所成角为60,但与的夹角为120,故不正确;中||=0.故也不正确.
答案
10.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45,OAB=60,则OA与BC所成角的余弦值等于________.
解析 设=a,=b,=c.
OA与BC所成的角为,
=a(c-b)=ac-ab=a(a+)-a(a+)=a2+a-a2-a=24-16.
cos ===.
答案 三、解答题
.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).
(1)判断、、三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解 (1)由已知++=3 ,
-=(-)+(-),
即=+=--,
,,共面.
(2)由(1)知,,,共面且基线过同一点M,
四点M,A,B,C共面,从而点M在平面ABC内.
.把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,点O是原正方形的中心,求:
(1)EF的长;
(2)折起后EOF的大小.
如图,以O点为原点建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-a,0),B(a,0,0),C0,a,0),D0,0,a),E0,-a,a),F(a,a,0).
(1)||2=2+2+2=a2,|EF|=a.
(2)=,=,
=0a++a0=-,
||=,||=,cos〈,〉==-,
EOF=120.
.如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GMGA=13.求证:B、G、N三点共线.
证明 设=a,=b,=c,则
=+=+
=-a+(a+b+c)=-a+b+c,
=+=+(+)
=-a+b+c=.
∥,即B、G、N三点共线.
.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB、AD、CD的中点,计算:
(1)(2)(3)EG的长;
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
解 设=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60,
(1)==c-a,=-a,=b-c,
=(-a)=a2-ac=,
(2)=(c-a)(b-c)
=(bc-ab-c2+ac)=-;
(3)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c,
||2=a2+b2+c2-ab+bc-ca=,则||=.
(4)=b+c,=+=-b+a,
cos〈,〉==-,
由于异面直线所成角的范围是(0,90],
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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