古典概型定义是由法国数学家拉普拉斯提出的，以下是古典概型专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。
1.(2016江西,文3改编)掷两枚均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于()
A. B. C. D.
2.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为()
A. B. C. D.
3.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()
A. B. C. D.
4.(2016湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则()
A.p190的概率是()
A. B. C. D.
13.在集合A=2,3中随机取一个元素m,在集合B=1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为 .
14.已知集合M=1,2,3,4,N=aM,bM,A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是 .
15.(2016四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率;
(2)求抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率.
16.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X0就去打球,若X=0就去唱歌,若X0就去下棋.
(1)写出数量积X的所有可能取值;
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
1.B 解析:掷两枚均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.
故所求概率为.
2.B 解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共66=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=.
3.D 解析:(1)当个位为奇数时,有54=20个符合条件的两位数.
(2)当个位为偶数时,有55=25个符合条件的两位数.
因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,
故所求概率为P=.
4.C 解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.
5.D 解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中甲与乙均未被录用的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,则其对立事件甲或乙被录用的可能结果有9种,故所求概率P=.
6. 解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.
7. 解析:k,b的取法有33=9种,直线y=kx+b不经过第三象限即k0,取法有(-1,1),(-1,2)两种,所以概率为P=.
8. 解析:试验中所含基本事件个数为36,若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则mn,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)=.
9.解:(1)由题意知,m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6,
则(m,n)所有可能的取法共36种.
使得ab,即m-3n=0,
即m=3n,共有2种:(3,1),(6,2),
故事件ab的概率为.
(2)|a||b|,即m2+n210,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,故其概率为.
10.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50=1,150=3,100=2.
所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15个.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件D:抽取的这2件商品来自相同地区,则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4个.
所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.
11.C 解析:记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P=.
12.A 解析:(m,n)(-1,1)=-m+n0,mn.
基本事件总共有66=36个,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),,(5,4),(6,1),,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).
则P=,故选A.
13. 解析:点P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为.
14. 解析:易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为.
15.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设抽取的卡片上的数字满足a+b=c为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)=.
因此,抽取的卡片上的数字满足a+b=c的概率为.
(2)设抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同为事件B,
则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P()=1-.
因此,抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率为.
16.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.
(2)数量积为-2的有,共1种;
数量积为-1的有,共6种;
数量积为0的有,共4种;
数量积为1的有,共4种.
则所有可能的情况共有15种.
因此小波去下棋的概率为P1=;
因为去唱歌的概率为P2=,
所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-.
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