函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().
A.y=x2 B.y=|x|+1
C.y=-lg|x| D.y=2|x|
解析 对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.
答案 C
.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0)(0,1) D.(-，-1)(1，+)
解析 f(x)在R上为减函数且f(|x|)
|x|1，解得x1或x-1.
答案 D
.若函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是()
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，
a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，
y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.
答案B
4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().
A.(-，0] B.[0,1)
C.[1，+) D.[-1,0]
解析 g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.
答案 B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()
A.(0，+) B.(-，1]
C.(-，0) D.(-，-1]
解析 二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).
答案 C
.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().
A.(-，0) B.(0，+)
C.(-，-1) D.(1，+)
解析 f(x)=
f(x)=
f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).
答案 C二、填空题
.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.
解析 函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.
当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.
综上，g(a)=
答案
.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.
解析y=-(x-3)|x|
=
作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.
答案
.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则a的取值范围是________.
解析 当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即3，故0
答案
10.已知函数f(x)=(a是常数且a0).对于下列命题：
函数f(x)的最小值是-1;
函数f(x)在R上是单调函数;
若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a
对任意的x10，x20且x1x2，恒有
f.
其中正确命题的序号是____________.
解析 根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)0在上恒成立，则2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.
答案 三、解答题
.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.
当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;
当0x12，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，
由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，
x1x20.
要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，
只需f(x1)-f(x2)0，
即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，则a16.
.已知函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.
(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性;
(2)若ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.
解 (1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.
(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.
(i)当a0，b0时，x-，
解得x
(ii)当a0，b0时，x-，
解得x0时，f(x)1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明 设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.
f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.
(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，
f(2)=3，
原不等式可化为f(3m2-m-2)
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