在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，下面是空间几何体的表面积与体积专题训练，请考生及时练习。

一、选择题

1.棱长为2的正四面体的表面积是().

A. B.4 C.4 D.16

解析 每个面的面积为：22=.正四面体的表面积为：4.

答案 C

2.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ().

A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍

解析 由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V=R3，知体积扩大到原来的2倍.

答案 B

3.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为().

A.48 B.64 C.80 D.120

解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面PAB的边AB上的高，且PE=5.此几何体的侧面积是S=4SPAB=485=80(cm2).

答案 C

4.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为().

A. B. C. D.

解析 在直角三角形ASC中，AC=1，SAC=90，SC=2，SA==;同理SB=.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因SAC≌△SBC，故BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因ASC=30，故AD=SA=，则ABD的面积为1

=，则三棱锥的体积为2=.

答案 A.某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为().

A.cm2 B.cm2

C.cm2 D.cm2

解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱.

S表面积=S下长方体+S上长方体+S圆柱侧-2S圆柱底=244+442+233+431+21-22=94+.

答案 C

.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，ASC=BSC=30，则棱锥SABC的体积为().

A.3 B.2 C. D.1

解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD=x，则DC=4-x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得AD=BD=x，又因为SC为直径，所以SBC=SAC=90，所以DCB=DCA=60，在BDC中 ，BD=(4-x)，所以x=(4-x)，所以x=3，AD=BD=，所以三角形ABD为正三角形，所以V=SABD4=.

答案 C

二、填空题

.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于________.

解析 将三棱锥S-ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R=SC=2，R=1，表面积为4.

答案 4

.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________.解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V=11=.

答案

9.已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________.

解析 借助常见的正方体模型解决.由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成.计算得其表面积为12+4.

答案 12+4

.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________.

解析 设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为=2，圆锥底面面积为S1=(2)2=24，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S2=23=18.因此圆锥的全面积为S=S2+S1=18=(18+24).

答案 (18+24)三、解答题

.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积V;

(2)求该几何体的表面积S.

解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，

所以V=11=.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA1=2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S=2(11+1+12)=6+2.

.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，如图所示，求CP+PA1的最小值.

解 PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决.铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示.计算A1B=AB1=，BC1=2，又A1C1=6，故A1BC1是A1C1B=90的直角三角形.

CP+PA1A1C.在AC1C中，由余弦定理，得

A1C===5，

故(CP+PA1)min=5..某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的左视图;

(2)求该安全标识墩的体积.

(1)左视图同主视图，如图所示：

(2)该安全标识墩的体积为

V=VPEFGH+VABCDEFGH

=40260+40220

=64 000(cm3).

.如图(a)，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体D-ABC，如图(b)所示.

(1)求证：BC平面ACD;

(2)求几何体D-ABC的体积.

(1)证明 在图中，可得AC=BC=2，

从而AC2+BC2=AB2，

故ACBC，

又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，BC平面ACD.

(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC=2，SACD=2，

VB-ACD=SACDBC=22=，

由等体积性可知，几何体D-ABC的体积为.

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