平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，下面是数学网整理的抛物线同步提升检测，请考生及时练习。
一、选择题
1.(宜春模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为()
(A)y2=4x (B)y2=8x
(C)x2=4y (D)x2=8y
2.若抛物线y2=2px(p0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()
(A) (B)1 (C)2 (D) 3
3.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()
(A) (B) (C)- (D)-
4.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个正三角形的边长为()
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
5.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()
(A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
6.直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=3，则p=()
(A)2 (B) (C) (D)4
7.(西安模拟)若双曲线-=1(a0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()
(A) (B) (C) (D)
8.(能力挑战题)若已知点Q(4,0)和抛物线y=x2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|最小值为()
(A)2+2 (B)11
(C)1+2 (D)6
二、填空题
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
10.(巢湖模拟)抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m=.
11.(铜川模拟)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|4时,|PA|+|PM|的最小值是.
三、解答题
12.已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)设斜率为2的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.
13.(宝鸡模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
14.(能力挑战题)如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以原点O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A,B是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=.
(1)求曲线C1和C2的方程.
(2)设点C,D是曲线C2所在抛物线上的两点(如图).设直线OC的斜率为k1,直线OD的斜率为k2,且k1+k2=,证明:直线CD过定点,并求该定点的坐标.
答案解析
1.【解析】选D.由已知得,动点P到点A(0,2)的距离与它到直线l:y=-2的距离相等,根据抛物线的定义得,该轨迹为以A(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线,且=2,p=4.又焦点在y轴上,开口向上,所以所求方程为:x2=8y.
2.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).
3.【解析】选D.由抛物线y=-2x2得x2=-y,
所以其焦点为F(0,-),
设点M纵坐标为y0,
由抛物线定义得-y0=1,得y0=-.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.
4.【解析】选B.设其中一个顶点为(x,2),∵是正三角形,=tan 30=,即=,
x=12.
除原点外的另外两个顶点是(12,4)与(12,-4),
这个正三角形的边长为8.
5.【解析】选B.方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,
由题意知:y1+y2=4,
p=2,抛物线的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1,故选B.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,
两式相减得:kAB====1,p=2,
抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
6.【解析】选C.过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D.因为|AF|=4，=3，所以|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得=，即=，解得a=2，所以=，即==，
所以p==，选C.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),
依题意=.
即=,得:5b=2c25b2=4c2,
又b2=c2-a2,25(c2-a2)=4c2,
解得c=a.
故双曲线的离心率为=.
8.【解析】选D.抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P到准线的距离为d,
则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1|FQ|+1=5+1=6,(当且仅当F,Q,P共线时取等号)
故y+|PQ|的最小值是6.
9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易出现y=x2的焦点为(0,)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.
11.【解析】由y2=4x得,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
由|a|4知点A(4,a)在抛物线的外部,
要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点A,P,F三点共线即可,此时:(|PA|+|PF|)min==,所以:|PA|+|PM|的最小值为(|PA|+|PF|)min-1=-1.
答案:-1
12.【解析】(1)由题意,得点P到直线y=-1和点(0,1)距离相等,
点P的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线y=-1为准线的抛物线,
曲线E的方程是x2=4y.
(2)设斜率为2的直线方程为y=2x+m,
由消去y,得x2-8x-4m=0,
由直线与曲线E相切,得=(-8)2+16m=0,
得m=-8,
直线方程为y=2x-8,即2x-y-8=0.
原点到直线的距离为d==.
13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)存在.假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
=4+8t0,解得t-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=1.
∵-1[-,+),1[-,+).
符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
14.【解析】(1)设A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线C1所在椭圆的长轴长为2a,则2a=|AF1|+|AF2|=6.
又由已知及圆锥曲线的定义得:
(xA-c)2+=,(xA+c)2+=,xA+c=,
得:(xA-c)2=.又∵AF2F1为钝角,
xA-c=,故xA=,c=1,
即曲线C1的方程为+=1(-3),
曲线C2的方程为y2=4x(0).
(2)设直线OC的方程为:y=k1x,
由
得(k1x)2-4x=0,即C(,),
同理得:D(,),
直线CD的方程为:y-=(x-),即y=x+2,
当x=0时,恒有y=2,即直线CD过定点(0,2).
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