上学期期中考试高三数学理试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=(　 )A．B． C．，或 D．，或. 已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是(　 )A．B．C． D．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为(　 )A. B. C. D. 4．的三个内角对应的边分别，且成等差数列，则角等于（ ）A . B. C. D. 5．函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，则只需将的图象（ ）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6．已知为坐标原点，直线与圆分别交于两点．若，则实数的值为A．1B．C．D．的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（ ）A．B．C．D．8．三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 A．B．C．D．设向量，，定义一运算：,已知，。点Q在的图像上运动，且满足 （其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是A． B． C． D．对于函数与和区间D，如果存在，使，则称函数与在区间D上“友好点”．现给出两个函数：①，；②，；③，；④，， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是 A．①② B．③④ C． ②③ D．①④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11． 的展开式中常数项为 ．12．已知随机变量，若，则 ．1． 已知变量的最大值是 ．，，若偶函数满足（其中m,n为常数），且最小值为1，则 ． 15．对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有 ② ③若，，都有 成立； 则称函数为函数。 下面有三个命题：（1）若函数为函数，则； （2）函数是函数；（3）若函数是函数，假定存在，使得，且， 则； 其中真命题是________．（填上所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分1分）已知函数的最小正周期为．（I）求值及的单调递增区间；（II）在△中，分别是三个内角所对边，若，，，求的大小．17．（本小题满分1分）已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝x2－15x＋3恰有三个不同交点，求b的取值范围．1.（本小题满分13分） 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30第6小组的频数是7(I) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；(III) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.：的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；m]（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点．点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．20．（本小题满分1分），（）（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；（2）求函数的单调区间；（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由21．（本小题满分1分）（本小题满分分）在矩阵的变换作用下得到曲线． （Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．（2）（本小题满分分）中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．（3）（本小题满分分）若，（1）求的最大值；的最大值．三、解答题17、解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，…………（分）由f′(－1)＝0，解得a＝－9.…………（分）则f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,3)．…………（分）(2)令g(x)＝f(x)－＝x3－x2＋6x＋b－3，…………（分）则原题意等价于g(x)＝0有三个不同的根．∵g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，…………（分）∴g(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1,2)上递减．…………（分）则g(x)的极小值为g(2)＝b－10，解得
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