山西大学附中高三下学期第二次月考数学试题（理）考试时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中全部 一选择题(共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设，若，若，则 （ ）A．0 B．－2 C．0或－2 D．0或±22．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）A． 10种 B．20种 C． 36种 D．52种3．已知数据是市个普通职工的的年收入,设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上比尔．盖茨的的年收入（约900亿元），则这个数据中，下列说法正确的是（ ）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变gkstkB．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。4．在各项都为正数的等比数列中，首项为，前项和为，则等于 （ ）A． B． C． D．5．已知函数 则( )A． B． C． D．6．设复数，若,则复数z的虚部为( ）A． B． C． D． 7．的三内角所对边的长分别为，设向量,．若使则角C的大小为 ( )A． B． C． D． 8．过抛物线焦点作直线交抛物线于两点为坐标原点，则为（）A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D．不确定9．在中，，，则的最小值是 （ ） A． B． C． D．A．2 B． 1 C．3 ．D． 11． 若实数满足，则的最小值为 （ ） B．2 C． D．8 12．已知函数，若，且，则 （ ）A．2 B．4 C．8 D．随值变化二． 填空题：(本大题共小题，每小题5分)13．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为．14．曲线与直线围成的封闭图形的面积为 ．15． 如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为 ． 16．已知无穷数列具有如下性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,．在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为 （用表示）．三．解答题：（共70分）17．（本题满分12分）已知．（Ⅰ）求的最大值及取得最大值时的值；（Ⅱ）在中，角，，的对边分别为若，，，求的面积．18．（本题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周、周三的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一周周根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周、周三都不满座的概率；设周二各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本题满分12分）等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)．（Ⅰ）求证:平面在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由．gkstk20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率，椭圆的上下顶点分别为，左、右顶点分别为,左、右焦点分别为原点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切，切点为．证明：线段的长为定值,并求出该定值．21．（本题满分12分）设函数定义在上，，导函数．（Ⅰ）求的单调区间和最小值；是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．gkstk请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．2．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 (t为参数)， (为参数)．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于两点，求．gkstk23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（Ⅰ）若的最小值为3，求值；求不等式的解集．山大附中高三月考理科数学一．选择题CABBB;DCCCA;DA二．填空题：13．；14．．；16．17、解:（Ⅰ）． …… 2分当，即，时，函数取得最大值2．…… 4分（Ⅱ）由，得，∵，∴，解得． …… 6分因为，根据正弦定理，得， ……8分由余弦定理，有，则，解得，， ……10分故△ABC的面积． ……12分18．解：（1）设数学辅导讲座在周一、周二、周三都不讲为事件A,ξ012345P故19．证明:(1)因为等边△的边长为3,且, 所以,． 在△中,, 由余弦定理得． 因为, 所以．……………3分折叠后有,因为二面角是直二面角,所以平面平面 ,又平面平面,平面,, 所以平面．………6分(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为． 如图,作于点,连结、 ，由(1)有平面,而平面, 所以,又, 所以平面, 所以是直线与平面所成的角 , ………………………8分设,则,,在△中,,所以 ,在△中,, ,由, 得 ,解得,满足,符合题意 所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ………12分解法2:由(1)的证明,可知,平面． 以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, ,所以,,,所以 ,因为平面, 所以平面的一个法向量为 , ………………………9分因为直线与平面所成的角为, 所以,, 解得 ,即,满足,符合题意,所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ．………12分20解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，则a＝2b，c＝b， 直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，即bx－2by－2b2＝0．所以＝，解得b＝1．所以 a＝2，椭圆方程为＋y2＝1． ……………分（）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0), 直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－； 直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………10分解法一:设圆G的圆心为((－)，h),则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2． OG2＝(－)2＋h2．OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 12分解法二:OM?ON＝(－)?＝,而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM?ON＝4．由切割线定理得OT2＝OM?ON＝4．所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. …… 1分21、解　(1)由题设易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.(2)满足条件的x0不存在．证明如下：假设存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜对任意x＞0成立，即对任意x＞0，有ln x＜g(x0)＜ln x＋，(*)但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有ln x1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜对任意x＞0成立．另一种证法如下：假设存在x0＞0，使g(x)－g(x0)＜对任意的x＞0成立．由(1)知，g(x)的最小值为g(1)＝1，又g(x)＝ln x＋＞ln x，而x＞1时，ln x的值域为(0，＋∞)， x≥1时g(x)的值域为[1，＋∞)，从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1.即g(x1)－g(x0)≥1，故g(x1)－g(x0)≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x1＞0，使g(x)－g(x0)＜对任意x＞0成立．22解：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. ……………………………10分23解：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.……………………4分⑵不等式即不等式 ， ①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即 由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知： 不等式的解集为……………………10分F2F1B2B1A2A1NOPGTyxM图 2山西省山大附中届高三下学期第二次月考数学理试题
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