青浦区高考数学一模卷（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.3.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本题满分56分）本题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.在直角坐标系内，到点（1,0）和直线距离相等的点的轨迹方程是 ．【解析】（性理解水平/），该的轨迹是抛物线，其中，轨迹方程为.已知全集U=R，集合,且R，则实数a的取值范围是 ．【解析】（探究性理解水平/集合的并集、补集运算，集合的描述法）由，，则易得.各项为实数的等比数列中，则 ．【解析】（探究性理解水平/等比数列的，等比中项）由等比数列的性质得：,.已知点，则向量在方向上的投影为 ．【解析】(探究性理解水平/平面向量) 依题意，,设与夹角为，，在方向上的投影为.已知，且，则 ．【解析】(探究性理解水平/诱导公式) ，则，，所以.已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为，则该圆锥的体积是 ．【解析】(探究性理解水平/圆锥的体积)设底面圆的半径为r，高为h，侧棱与底面所成角为，则，又， .7. (1月青浦)要使函数在区间[2,3]上存在反函数，则实数a的取值范围是或【解析】（探究性理解水平/反函数）函数在区间上存在反函数，在区间单调，或，即或.已知，则实数q的取值范围是 ．【解析】（解释性理解水平/极限的计算）因为，故，故，则的取值范围为.已知定义域为R上的偶函数f(x)在上是减函数，且，则不等式的解集为 ．【解析】（探究性理解水平/函数的奇偶性、性）由题意在上是增函数，，，所以不等式的解集为.10. (1月青浦)已知集合，从A的非空子集中任取一个，该集合中所有元素之和为奇数的概率是 ．【解析】（探究性理解水平/）A中有5个元素，其子集的个数为①集合中含有1个元素种；②个种；③个元素种；④个元素种；⑤个元素1种，故的概率为：.点P在上，若,则【解析】(探究性理解水平/双曲线的)由题意知，分别为双曲线的左、右焦点，则点P在双曲线的右支上，根据双曲线的几何性质，有，所以.12. (1月青浦)已知扇形的周长为定值l，写出扇形的面积y关于其半径x的函数解析式 ．【解析】（探究性理解水平/扇形周长、面积公式）由题意扇形的半径为x，弧长为，面积为，解得，故13. (1月青浦)**已知直角坐标平面上任意两点，定义为两点的“非常距离”.当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是 ．【解析】（探究性理解水平/新定义）由题意可知点M在以A为圆心，为半径的圆周上，第13题图由新定义当时，；当时，，故14. (1月青浦)**若不等式对任意自然数n恒成立，则实数a的取值范围是 ．【解析】（探究性理解水平/不等式，求参数）当为奇数时，不等式为，则当为偶数时，不等式为，，即.综上，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.指数函数在R上是减函数，则函数在R上的单调性为（）A单调递增 B单调递减C在上递减，在上递增 D在上递增，在上递减【解析】（探究性理解水平/函数的单调性）因为指数函数R上减函数，，，故函数开口向下，故在区间上递增，在区间上递减，故选D.16. (1月青浦)直线的倾斜角的取值范围是（）A B. C. D.【解析】（探究性理解水平/）①当时，斜率不存在，即倾斜角为；②当时，直线的斜率，即直线的倾斜角为.当时，直线的斜率，即直线的倾斜角为直线的倾斜角范围为.17. (1月青浦)设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为（）A B. C. D.【解析】(探究性理解水平/等差数列前n项和) 由于，所以可得.所以又且，所以在中最大的是，故选C.18. (1月青浦)**对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”，若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A B.C. D.【解析】(探究性理解水平/函数奇偶性新定义）为满足，即，令，则，即在t>0有解，再令，则在有解.函数关于h的对称轴为h=m，①当时，，，解得；②当时，则，即，解得.综合①②，可知.故选.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题6分.在△中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，,且.（1）求角C的大小（2）若,且，求c的边长.【解】(探究性理解水平/向量的数量积二倍角公式余弦定理）（1），，…………………2分，,……………………………4分且，……6分（2）, ………………………………8分又 ……11分 ……………………………………………………………12分20. (1月青浦) (本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.如图，在直三棱柱中，,.（1）求证：平面;（）若D为的中点，求异面直线与所成的角的大小.【解】(探究性理解水平/空间线面和异面直线的夹角）（1）由题意知四边形是正方形，故.…………… 2分由得.又,所以，故 ………………………………………………………… 4分从而得.……………………………………………… 6分(第20题图)（2）解法一：在线段上取中点M，连结OM ∴直线OM与所成角等于直线AD与所成的角. ………………………………… 8分设，在△中，, ……………………………………………………………11分 …………………………………13分，异面直线AD与所成角的大小是. …14分解法二：设，以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，， ………………………………………………………10分直线AD与所成的角为，向量的夹角为 ……………………………………12分又，，即异面直线AD与所成角的大小是.……………………………14分（说明：两种方法难度相当）21. (1月青浦) **(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.已知数列的前n项和为，且对一切正整数都成立.（1）求的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.【解】(探究性理解水平/等差数列的前项和）（1）由已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立即解方程组得或或. ……………………… 各2分（2） …………………………………… 7分又，当时，作差得…………… 10分令，则可知是首项为1，公差为的等差数列…………………………… 11分解法一：…………………………… 13分由计算器可得，所以n=7时的最大值为…… 14分解法二：…… 14分解法三：也可以用两边夹的方法计算得到 ………………………………… 14分22. (1月青浦) **(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题8分，第()小题4分.椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△面积为S.（1）求椭圆C的方程.（2）判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值.(探究性理解水平/椭圆的方程直线与椭圆的位置关系等数列的性质基本不等式）（1）由题意可知且，……………………………… 2分所以椭圆的方程为……………………………… 4分（2）设直线的方程为，由……………………………… 5分 且……………………………… 6分 恰好构成等比数列.=即 ……………………………… 8分此时，即 ……………………………… 9分== ……………………………… 11分所以是定值为5. ……………………………… 12分（3） ……………………………… 13分== ……………………………… 14分=当且仅当即时，的最大值为1. ……………………………… 16分23. (1月青浦)**(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分，第()小题8分.设集合.（1）已知函数，求证：（2）对于（1）中的函数，求证：存在定义域为的函数，使得对任意成立.（3）对于任意，求证：存在定义域为的函数，使得对任意成立.【证明】(探究性理解水平/函数的）（1）由可得，，……………………… 3分因此.又，所以. ……………………………… 4分（2）由=，设函数，当时，≥2=2. …………………………… 8分则==. ……………………………10分即存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.（3）当时，设=,则，可得，解得， ……………………………12分设函数=，当时，≥2=2. ………13分则.……………………14分当时，≤，==………16分当时，>，=. ……………18分即存在定义域为的函数，使得等式对任意成立.上海市青浦区届高三一模数学试卷（word版，含解析）
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