数学试卷（理科） 2019.4
本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．函数 的定义域为
A．［0，＋ ） B．［1，＋ ） C．（－ ，0］ D．（－ ，1］
2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为
A．－1
B．1
C．－i
D．i
3．若x，y 满足 ，则 的最大值为
A． B．3
C． D．4
4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A． B．
C． D．
5．已知数列 的前n 项和为Sn，则“ 为常数列”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在极坐标系中，圆C1 : 与圆C2: 相交于 A，B两点，则｜AB｜＝
A．1 B． C． D． 2
7．已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是
A． B．
C． D．
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值
如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则
下列叙述正确的是
A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作
C．丙可以不承担第三项工作 D．丁可以承担第三项工作
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．已知向量 ，若 ，则t ＝ _______．
10．在等比数列 中，a2＝2，且 ，则 的值为_______．
11．在三个数 中，最小的数是_______．
12．已知双曲线C： 的一条渐近线l 的倾斜角为 ，且C 的一个焦点到l 的距离
为 ，则C 的方程为_______．
13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．
（?）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；
（?）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．
14．已知函数 ，对于实数t ，若存在a＞0，b ＞0 ，满足： ，使得
2，则记a＋b的最大值为H（t ）．
（?）当 ＝2x时，H（0）＝ _______．
（?）当 且t 时，函数H（t）的值域为_______．
三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13 分）
如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且 ．记∠ACD＝ ，∠BCD＝ ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求BC 的长．
16．（本小题满分13 分）
2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推
广．2018 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法
上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中
分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4
株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：
（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；
（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 ， ，根据样本数据，
试估计 与 的大小关系（只需写出结论）；
（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为 ，求
随机变量 的分布列和数学期望．
17．（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N
分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．
（Ⅰ）求证： BC⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内；
（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小为 时，求PN 的长．
1
18．（本小题满分13 分）
已知函数f (x) ＝ln x＋ －1，
（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；
（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线 y＝x不是曲线 y ＝g(x)的切线。
19．（本小题满分14 分）
已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，
且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在 y轴的右侧．直线PA，PB与直线x＝ 4
分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横
坐标的取值范围及｜EF｜的最大值．
20．（本小题满分13 分）
给定正整数n(n≥3)，集合 ．若存在集合A，B，C，同时满足下
列条件：
① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝ ；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集
合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ；
则称集合 Un为可分集合．
（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ；
（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un不是可分集合；
（Ⅲ）若Un为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（理科） 2019.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A C B C B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．
10．
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．解：（Ⅰ）
在 中，由正弦定理,有 …………………2分
在 中，由正弦定理,有 …………………4分
因为 ,所以 …………………6分
因为 , 所以 …………………7分
（Ⅱ）因为 ， ,
由（Ⅰ）得 …………………9分
设 ,由余弦定理,
…………………11分
代入,得到 ,
解得 ,所以 . …………………13分
16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数
…………………2分
则山下试验田 株青蒿的青蒿素产量 估算为
g …………………3分
（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 和 ，结果为 .
…………………6分
（Ⅲ）依题意，随机变量 可以取 ， …………………7分
,
,
, …………………9分
7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4
p
随机变量 的分布列为
…………………11分
随机变量 的期望 .
…………………13分
17解:
（Ⅰ）证明：在正方形 中， ,
…………………1分
因为 平面 ， 平面 ， 所以 . …………………2分
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 …………………4分
（Ⅱ）证明：因为 平面 ， 平面 ,
所以 …………………5分
在 中， ， ，
所以 . …………………6分
在正方形 中， , 所以 ， …………………7分
所以 可以确定一个平面，记为
所以 四个点在同一个平面 内 …………………8分
（Ⅲ）因为 平面 ， 平面 ，
所以 , .
又 ,如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 , …………………9分
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ,
设 , ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，…………………10分
取 , 得到 , …………………11分
因为 ，
所以 ，即 ，
取 得, 到 , …………………12分
因为二面 大小为 , 所以 ,
所以
解得 , 所以 …………………14分
18解: （Ⅰ）函数 的定义域为 ， …………………1分
…………………2分
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极小值
…………………4分
函数 在 上的极小值为 ，
所以 的最小值为 …………………5分
（Ⅱ）解：函数 的定义域为 ， …………………6分
…………………7分
由（Ⅰ）得， ，所以 …………………8分
所以 的单调增区间是 ，无单调减区间. …………………9分
（Ⅲ）证明：假设直线 是曲线 的切线. ………………10分
设切点为 ，则 ，即 …………………11分
又 ，则 . …………………12分
所以 , 得 ，与 矛盾
所以假设不成立，直线 不是曲线 的切线 …………………13分
19解：（Ⅰ）由题意可得， ， …………………1分
， …………………2分
得 ， …………………3分
解 ， …………………4分
椭圆 的标准方程为 . …………………5分
（Ⅱ）设 ， ， ，
所以 ，直线 的方程为 ， ………………
…6分
同理：直线 的方程为 ，
直线 与直线 的交点为 ， …………………7分
直线 与直线 的交点为 ，
线段 的中点 ， …………………8分
所以圆的方程为 ， …………………9分
令 ，则 ， …………………10分
因为 ，所以 ， …………………11分
所以 ，
因为这个圆与 轴相交,该方程有两个不同的实数解，
所以 ，解得 . …………………12分
设交点坐标 ，则 （ ）
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
方法二：（Ⅱ）设 ， ， ，
所以 ，直线 的方程为 ， …………………6分
同理：直线 的方程为 ，
直线 与直线 的交点为 ， …………………7分
直线 与直线 的交点为 ，
若以MN为直径的圆与x轴相交，
则 ， …………………9分
即
即 …………………10分
因为 ，所以 , …………………11分
代入得到 ，解得 . …………………12分
该圆的直径为 ，
圆心到x轴的距离为 ，
该圆在x轴上截得的弦长为 ；
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
方法三：
（Ⅱ）设 ， ， ，
所以 ，直线 的方程为 ， …………………6分
同理：直线 的方程为 ，
直线 与直线 的交点为 ， …………………7分
直线 与直线 的交点为 ，
所以 ， …………………8分
圆心到x轴的距离为 ， …………………9分
若该圆与 轴相交，则 ， …………………10分
即 ，
因为 ，所以 , …………………11分
所以 ，解得 …………………12分
该圆在x轴上截得的弦长为 ；
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
方法四： 记 , ，设
由已知可得 ，
所以 的直线方程为 ， ……………………….6分
的直线方程为 ，
令 ，分别可得 ，
， ……………………….8分
所以
若以 为直径的圆与 轴相交于 ，
因为 ， 所以 ， ……………………….9分
……………………….10分
因为 ，所以 , ……………………….11分
代入得到
所以 ， ……………………….12分
所以
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
方法五：
设直线 与 交于点
因为 轴，所以有
所以 ，所以 ，所以 是 的中点. ……………………….6分
又设 , 所以直线 方程为 , ……………………….7分
令 ,得 , 所以
……………………….8分
而 ……………………….9分
若以 为直径的圆与 轴相交于
则 ……………………….10分
所以
因为 ，所以 ,代入得到 ……………………….11分
所以 ，所以 或
因为点 ，所以 ……………………….12分
而
所以该圆被 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
20解：
（I）依照题意，可以取 ， ， …………………3分
（II）假设存在 是 的倍数且 是可分集合.
设 ，则依照题意 ，
故 ，
而这 个数的和为 ，故 , 矛盾，
所以 是3的倍数时， 一定不是可分集合 …………………7分
(Ⅲ) 35. …………………8分
因为所有元素和为 ，又 中元素是偶数，所以 = ( 为正整数)
所以 ，因为 为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数
由（Ⅱ）知道， 不是3的倍数，所以一定有 是 的倍数.
当 为奇数时， 为偶数，而 ，
所以一定有 既是 的倍数，又是 的倍数，所以 ,
所以 . …………………10分
定义集合 ，即集合 由集合 中所有不是3的倍数的奇数组成，
定义集合 ，即集合 由集合 中所有不是3的倍数的偶数组成，
根据集合 的性质知道，集合 ，
此时集合 中的元素之和都是 ，而 ，
此时 中所有 的倍数的和为 ，
,
显然必须从集合 中各取出一些元素，这些元素的和都是 ，
所以从集合 中必须取偶数个元素放到集合 中，所以 ,
所以 ，此时
而令集合 ，
集合 ，
集合 ，
检验可知，此时 是可分集合, 所以 的最小值为 . …………………13分
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