一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,那么
(A) 或 (B)
(C) 或 (D)
2.的展开式中常数项是
(A) -160 (B) -20 (C) 20 (D) 160
3.已知平面向量,的夹角为60°,,,则
(A) 2 (B) (C) (D)
4.设等差数列的公差≠0,.若是与的等比中项,则
(A) 3或 -1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1
5.设,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题:
① 若,,则; ② 若//,,则 //;
③ 若,,,则; ④ 若,,,则.
其中正确命题的序号是
(A) ①③ (B) ①② (C)③④ (D) ②③
6.已知函数 若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
7.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点取自阴影部分的概率为
(A) (B) (C) (D)
8.对于定义域和值域均为[0,1]的函数f(x),定义,,…,,n=1,2,3,….满足的点x∈[0,1]称为f的阶周期点.设 则f的阶周期点的个数是
(A) 2n (B) 2(2n-1) (C) 2n (D) 2n2
第Ⅱ卷(非 共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,
点A的纵坐标为,则cosα= .
10.双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为 ,渐近线方程为 .
11.已知圆:x2+y2-2x-4y+1=0,则圆心到直线(t为参数)的距离为 .
12.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O
于B,弦N过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则P?NP= .
13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下:
花期(天)11~1314~1617~1920~22
个数20403010
则这种卉的平均花期为 天.
14.将全体正奇数排成一个三角形数阵:
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状.
16.(本小题共14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,
平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,是棱PC上的点,PA=PD=2,
BC=AD=1,CD=.
(Ⅰ)若点是棱PC的中点,求证:PA // 平面BQ;
(Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅲ)若二面角-BQ-C为30°,设P=tC,试确定t的值 .
17.(本小题共13分)
某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.
(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;
(Ⅱ)设摸球次数为,求的分布列和数学期望.
18.(本小题共13分)
已知函数,为函数的导函数.
(Ⅰ)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;
(Ⅱ)若函数,求函数的单调区间.
19.(本小题共14分)
已知点,,动点P满足,记动点P的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)直线与曲线W交于不同的两点C,D,若存在点,使得成立,求实数的取值范围.
20.(本小题共13分)
已知,或1,,对于,表示U和V中相对应的元素不同的个数.
(Ⅰ)令,存在个,使得,写出的值;
(Ⅱ)令,若,求证:;
(Ⅲ)令,若,求所有之和.
2014年高考模拟数学(理)试卷
参考答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号12345678
答案BACCDDBC
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10., 11.2
12. 13.16天(15.9天给满分) 14.n2-n+5
注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣1分) …………… 3分
∵ 0<A<π , (或写成A是三角形内角) ……………………4分
∴. ……………………5分
(Ⅱ) ………………7分
, ……………………9分
∵ ∴ ∴ (没讨论,扣1分) ………10分
∴当,即时,有最大值是…………………11分
又∵, ∴ ∴△ABC为等边三角形. ………………13分
16.(本小题共14分)
证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接N. ……………………1分
∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.
∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,
又∵点是棱PC的中点,
∴ N // PA ……………………2分
∵ N平面QB,PA平面QB,…………………3分
∴ PA // 平面BQ. ……………………4分
(Ⅱ)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ . ……………………6分
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD, ……………………7分
∴BQ⊥平面PAD. ……………………8分
∵BQ平面PQB,
∴平面PQB⊥平面PAD. …………………9分
另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ,
∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD. …………………6分
∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ……………………7分
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. …………………8分
∵ AD平面PAD,
∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………9分
(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD.……………10分
(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;
,,,.………11分
设,
则,,∵,
∴ , ∴ ……………………12分
在平面BQ中,,,
∴ 平面BQ法向量为. ……………………13分
∵二面角-BQ-C为30°, ,∴ .……14分
17.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C. ……1分
则P(A)=,(列式正确,计算错误,扣1分) ………3分
P(B) (列式正确,计算错误,扣1分) ………5分
三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况.
P(C).…7分
(Ⅱ)设摸球的次数为,则. ……8分
, ,
,.(各1分)
故取球次数的分布列为
1234
…12分
.(约为2.7) …13分
18.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)∵,
∴. ……………………1分
∵在处切线方程为,
∴, ……………………3分
∴,. (各1分) …………………5分
(Ⅱ).
. ………………7分
①当时,,
0
-0+
极小值
的单调递增区间为,单调递减区间为. ………………9分
②当时,令,得或 ……………10分
(?)当,即时,
0
-0+0-
极小值极大值
的单调递增区间为,单调递减区间为,;……11分
(?)当,即时,,
故在单调递减; ……12分
(?)当,即时,
0
-0+0-
极小值极大值
在上单调递增,在,上单调递减 ………13分
综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,
当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,.
(“综上所述”要求一定要写出来)
19.(本小题共14分) 解:(Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为的椭圆.2分
∴,,.……3分
W的方程是.…………4分
(另解:设坐标1分,列方程1分,得结果2分)
(Ⅱ)设C,D两点坐标分别为、,C,D中点为.
由 得 . ……6分
所以 …………7分
∴, 从而.
∴斜率. ………9分
又∵, ∴,∴ 即 …10分
当时,; ……11分
当时,. ……13分
故所求的取范围是. ……14分
20.(本小题共13分)
解:(Ⅰ); ………3分
(Ⅱ)证明:令,
∵或1,或1;
当,时,
当,时,
当,时,
当,时,
故
∴
………8分
(Ⅲ)解:易知中共有个元素,分别记为
∵的共有个,的共有个.
∴=
=……13分 ∴=.
法二:根据(Ⅰ)知使的共有个
∴=
=
两式相加得 =(若用其他方法解题,请酌情给分)
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