云南省玉溪一中2014届高三上学期期中考试 数学理

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试卷说明:

玉溪一中201届试题班级 第卷(选择题,共分)一、选择题本大题共个小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合{1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是A. 1 B. 3 C. 4 D. 82.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为A. -2 B. 6 C. 4 D. -63.下列命题中是假命题的是A.x∈(0,),x>sinx B. x0∈R,sinx0+cosx0=2C.x∈R,3x>0 D. x0∈R,lgx0=04.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点5.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2?a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=A. 35 B. 33 C. 31 D. 296.如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是A. B. C. D. 7.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0且φ<)在区间[,]上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为A. B. C. D. 8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当MN达到最小时t的值为A. 1 B. C. D. 9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π10.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则A. a2= B. a2=13 C. b2= D. b2=211.已知函数f(x)=ex+x.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①△ABC一定是钝角三角形;②△ABC可能是直角三角形;③△ABC可能是等腰三角形;④△ABC不可能是等腰三角形.其中,正确的判断是A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④12.函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f()=f(x);③f(1-x)=1-f(x).则f()+f()=A. B. C. 1 D. 第卷(非选择题,共分)二、填空题本大题小题,每题分,共分 13.二项式(x3-)5的展开式中的常数项为 .14.若以双曲线-y2=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切,则圆的标准方程是 .15.定义在实数上的函数f(x)=的最小值是 .16.设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是 .三、解答题本大题共小题,共分17.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知= .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.18.(本小题满分12分)某地区举行一次数学新课程骨干教师研讨会,共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师,数据如下表所示:版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342(Ⅰ)从这15名教师中随机选出2名教师,则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少?(Ⅱ)研讨会中随机选出2名代表发言,设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B—AC—E的正弦值;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2.(Ⅰ)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(Ⅱ)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点,求实数a的值.21.(本小题满分12分)设a≥0,函数f(x)=[x2+(a-3)x-2a+3]ex,g(x)=2-a-x- .(Ⅰ)当a≥1时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)假设存在x1,x2∈(0,+∞),使得f(x1)-g(x2)<1成立,求a的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分..(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C的方程是p=4,直线l的方程是psin(θ+)=3,求圆C上的点到直线l的距离的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=x-2a,a∈R.(Ⅰ)若不等式f(x)<1的解集为{x1<x<3},求a的值;(Ⅱ)若存在x0∈R,使f(x0)+x0<3,求a的取值范围.玉溪一中201届试题一、选择题本大题共1个小题,每小题分,共分.二、填空题本大题个小题,每题分,共分.-10; 14. (x-2)2+y2=; 15.-; 16.(-∞,-]∪[,+∞).三、解答题本大题共个小题,共分.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由正弦定理,设===k,则==,所以=,即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π,所以sinC=2sinA.因此=2.(Ⅱ)由=2得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=,b=2,得4=a2+4a2-4a2×.解得a=1,从而c=2.又因为cosB=,且0<B<π,所以sinB=,因此S=acsinB=×1×2×= .18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)从15名教师中随机选出2名共有种选法,所以这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是= .(Ⅱ)由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2.则P(ξ=0)==;P(ξ=1)==;P(ξ=2)== .故ξ的分布列为ξ012P所以ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×= .19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵ BF⊥平面AEC,∴ BF⊥AE,∵ 二面角D—AB—E为直二面角, ∴ 平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴ BC⊥平面ABE,∴ BC⊥AE,又BF∩BC=B,∴ AE⊥平面BCE.(Ⅱ)连接BD交AC于点G,连接FG,∵ 四边形ABCD为正方形,∴ BD⊥AC,∵ BF⊥平面ACE,∴ BF⊥AC,又BD∩BF=B,∴ AC⊥平面BFG.∴ FG⊥AC,∠FGB为二面角B—AC—E的平面角,由(Ⅰ)可知,AE⊥平面BCE,∴ AE⊥EB,又AE=EB,AB=2,∴ AE=BE=,在直角三角形BCE中,CE==,BF===,在正方形ABCD中,BG=,在直角三角形BFG中,sin∠FGB=== .即二面角B—AC—E的正弦值为 .(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离,而BF⊥平面ACE,则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为= .20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)令f′(x)=lnx+1=0得x=,① 当0<t<时,函数f(x)在(t,)上单调递减,在(,t+2)上单调递增,此时函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为f()=-;② 当t≥时,函数f(x)在[t,t+2]上单调递增,此时函数f(x)在区间[t,t+2]上的最小值为f(t)=tlnt.(Ⅱ)由题意得,f(x)-g(x)=xlnx+x2-ax+2=0在(0,+∞)上有且仅有一个根,即a=lnx+x+在(0,+∞)上有且仅有一个根,令h(x)=lnx+x+,则h′(x)=+1-==(x+2)(x-1),易知h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以a=h(x)min=h(1)=3.21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f′(x)=[x2+(a-1)x-a]ex=(x+a)(x-1)ex,∵ a≥1, ∴ 当x∈(-∞,-a)时,f(x)递增,当x∈(-a,1)时,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f(x)递增.∴ 函数f(x)的极大值点为x1=-a,极小值点为x2=1,而f(1)=(1-a)e≤0,f(-a)=>0,令h(x)=x2+(a-3)x-2a+3,则其图象的对称轴为x=>-a,h(-a)=a+3>0,∴ 当x≤-a时,h(x)=x2+(a-3)x-2a+3>0,∴ f(x)>0.当x>-a时,f(x)的最小值为f(1)=(1-a)e≤0.∴ f(x)的最小值是(1-a)e.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上的值域是[(1-a)e,+∞),当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)上的值域是(0,+∞).而g(x)=2-a-x-≤3-a-2=-a-1,当且仅当x=1时,等号成立,故g(x)在(0,+∞)上的值域为(-∞,-a-1],∴ 当a≥1时,令(1-a)e-(-a-1)<1,并解得a>,当0<a<1时,令0-(-a-1)<1,无解.因此,a的取值范围是(,+∞).22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程解:以极点为坐标原点,极轴为x轴,建立平面直角坐标系,易得圆C的直角坐标方程是x2+y2=16,直线l的直角坐标方程是y+x-6=0,圆心C(0,0)到直线l的距离d==3,∴ 圆C上的点到直线l的距离的最大值为3+4=7.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲解:(Ⅰ)由题意可得x-2a<1可化为2a-1<x<2a+1,即,解得a=1.(Ⅱ)令g(x)=f(x)+x=x-2a+x=,所以函数g(x)=f(x)+x的最小值为2a,根据题意可得2a<3,即a<,所以a的取值范围为(-∞,).云南省玉溪一中2014届高三上学期期中考试 数学理
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