湖南省十三校2014届高三3月第一次联考数学（理）试题总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置．1．在复平面内，复数z满足（34i）z=4+3i（i为虚数单位），则z的虚部为A．4 B．4 D．2．下列四个命题中 ①设有一个回归方程y=23x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位； ②命题P:“ "的否定； ③设随机变量X服从正态分布N（，1），若P（X1）=p，则P（-lX＜0）；④在一个22列联表中，由计算得K26．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有A．1个 B．2个C．3个 D．4个附：本题可以参考独立性检验临界值表3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是A．，C．D．885．已知m，为异面直线，平面，平面．直线满足m，，，，则 A．与相交，且交线平行于 B．与相交，且交线垂直于 C．∥，里∥a D．，且6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线y22 px（）的准线分别交于A，B两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p A．1 B． C．2 D．37．在平行四边形ABCD中，AD=1，BAD= 60o，E为CD的中点．若=1，则AB的长为 A．B． C．1 D．28．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x，），满足x02y0 =2，求得m的取值范围是 A． B．C．D．9．函数（）的定义域为D，若对于任意， D，当时，都有f（）≤（2），则称函数（）在D上为非减函数．设函数（）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①（）；② ；③（l）1－f（），则等于 A． B． D． 10．已知函数（）ex，g（）=ln的图象分别与直线m交于A，B两点，则AB的最小值为 A．2 B．2 ln 2 C．e2 D．2eln 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．如图，在ABC中，C= 90o，A= 60o，AB=20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为____．12．在直角坐标系Oy中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为 的直线与曲线为参数（相交于A，B两点．则AB= ．13．若关于实数的不等式5+x+3 ＜a无解，则实数的取值范围是．（二）必做题（14～16题）14．已知（l+a）（1+）5的展开式中2的系数为5，则a15．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为（nN），且2S2，S3，4S4成等差数列，则数列{an}的通项公式为16．已知P{A A=（a1，a2，a3，，an），a=2 013或2 014，i=1，2，3，，n（n≥2），对于U，VP，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数． （1）令U=（2 014，2 014，2 014，2 014，2 014），存在m个VP，使得d（U，V）=2，则m=____； （2）令U=（a，a2，a3，，an），若VP，则所有d（U，V）之和为三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 设函数（）sinx+sin（）． （1）求（）的最小值，并求使（x）取得最小值的x的集合； （2）在ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B=2A，且b=2a（A），求角的大小．18．（本小题满分12分） 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下；（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） （如图1）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足现将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角ADE－B为直二面角，连结AB、AlC（如图2）．（1）求证：Al D平面BCED;（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA与平面ABD所成的角为60若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分） 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2 km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为RST，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．21．（本小题满分13分） 如图，设椭圆：的左、右焦点分别为F1，F，上顶点为A，在轴负半轴上有一点B，满足，且=0． （1）若过A、B、F三点的圆恰好与直线y3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．22．（本小题满分13分） 定义F（x，y（1+xz）y，其中x，y（，+∞）． （1）令函数（x）F（1，lg2（x3 +ax2+bx1）），其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0，（4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围； （2）令函数g（x）F（1，lg2[（n x－l）ex+x]），是否存在实数x1[1，e]，使曲线y=g（x）在点x =xl处的切线与y轴垂直？若存在，求出x1的值；若不存在，请说明理由． （3）当x，y N，且xy时，求证：F（x，y）F（y，x）．！第13页 共13页学优高考网！！湖南省十三校2014届高三3月第一次联考 数学理
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