宜春市2012-2013学年第一学期期末统考高三年级数学文科试卷命题人徐定荣奉新一中李希亮 审题人 李希亮 吴连进（高安中学）（注意：请将答案填在答题卡上）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．2、已知、、、均为实数，且，则是的（ ）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A．B．C．D．4围成的区域的面积是（ ）A．6B．7C．8 D．95、若数列的前项和，而，通过计算、、猜想（ ）A B． C． D．6、如下图是函数的大致图象，则（ ）A． B． C． D． 7、下面几种推理是合情推理的是（ ）1）由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是；设等差数列的前项和为，若,则的值为；金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电．A．1）（2） 　B．1）（2）（4） C．1）（3） 　 　D．2）（4）8、若直线与圆相切，且为锐角，则该直线的倾斜角是（ ）A． B． C． D．9、在三角形中，，为边的中点，则中线的长为（ ）A　　 B　 　C　　 D．10、已知两定点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为优美直线，给出下列直线：① ② ③ ④．其中是优美直线的序号是（ ）A①④　 B③④　 　C．②③　　 D①③二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、若，则 ．12、，，，其中．则的最小值为________.13、从中随机选一个数从中随机选取一个数则的概率是_____．14、一个棱锥的三视图如图（长度单位为m），则该棱锥的表面积是______________m2． 15、已知函数 为正整数若存在正整数满足，那么我们为“好整数．当时则所有符合条件的好整数和为 ．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤)16、（本小题满分12分）已知向量＝，， ，设函. （1）若，求函数的值；（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，使平移后的图象关于原点对称，若，，试求的值．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，， 平面，是的中点，且，． （1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积．18、（本小题满分12分）甲、乙、 丙三个工厂同时生产和两种型号的产品某天的产量如表单位个型号甲厂乙厂丙厂型20003000型300045005000按厂家进行分层抽样，在该天的产品中抽取个,其中有甲厂产品个.（1）求的值；（2）在甲厂产品中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取个产品，求至少有个型产品的概率．19、（本小题满分12分）已知数列满足：，且．（1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．20、（本小题满分13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆 的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点 定在直线上（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．21、（本小题满分14分）已知，函数，（1）判断函数在上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）若实数满足，求证：．2012-2013学年第一学期期末统考高三年级数学(文科)参考答案及评分标准一、CCBDA，CBBBD, 二、11．2　， 12.1， 13., 14. , 15.54.16、解: (1)∵cosx＝－，x∈，∴sinx＝.………… 2分 ∴f(x)＝＝sin?cos－＝sin－(1＋cosx)＝＝－.………… 6分(2)由(1)知f(x)＝＝?sin－.………… 8分f(x)的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位后，变为，…………9分由于其图象关于原点对称，故＝±sinx，…… 10分则m，n的值分别为，．………… 12分17、（1）证明： 取SB的中点N，连接AN、MN……… 2分 ∵ 点M是SC的中点 ∴MN∥BC且BC=2MN， ∵ 底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC=2，AD=1， ∴ AD∥BC且BC=2AD， ∴ MN∥AD且MN=AD，∴ 四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，………… 4分∴DM∥平面SAB．………… 6分（2）解：∵ AB⊥底面SAD,底面SAD,底面SAD，∴ AB⊥SA, AB⊥AD，∵ SA⊥CD,AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线∴ 侧棱SA⊥底面ABCD ………………… 8分又在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，又M是SC的中点．∴……… 12分18、解：（1）设乙厂该天的产品为n个,在丙厂的产品中抽取x个，由题意得, ,所以x=40. -----------2分则100－40－25＝35，所以，n=7000， 故z＝7000－4500＝2500 ----------6分（2）设所抽样本中有m个A型产品,因为用分层抽样的方法在甲厂产品中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2 -----------9分也就是抽取了2个A型产品,3个B型产品,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1个A型产品的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,至少有1个A型产品的概率为. -----------12分19、解：（1）当………… 4分∴，∴ ………… 6分（2）∵，………… 7分∴………… 8分=………… 10分………… 12分20、解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.，∴解得 .所以椭圆的方程为：.…………3分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ，， 由 消去并整理得 ，∴ ………… 5分∵抛物线的方为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是， ，即 ， ，………6分解得两条切线、的交点的坐标为，即，∴点M在直线y=-1上．.………… 8分 （3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，………… 9分设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点. 令得，， 解得或………… 11分 故不妨取，即直线过点. 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），能使直线过点.此时，两切线、的方程分别为和………… 13分21、解：（1）∵，，∴…… 1分①若，则，在上单调递增………… 2分 ②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增………… 3分③若，则，函数在区间上单调递减………… 4分（2）解：∵，，………… 5分由（1）易知，时，在上的最小值：，即时，． 又，∴………… 7分曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解…… 8分而，即方程无实数解．故不存在………… 9分（3）证明：，………… 12分由（2）知，令得即可………… 14分高三数学（文科）试题第1页（共4页）俯视图左视图主视图第17题图ACDBMS江西省宜春市2012—2013学年高三第一学期期末统考数学（文）试卷
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